Loi binomiale ti 83

Je vais vous montrer ici les deux fonctions de la calculatrice qui concernent la loi binomiale ainsi qu’une application à la recherche de valeur seuil.

Dans tout le tutoriel, je mettrai les saisies d’écran pour la TI83 Premium à gauche et pour la TI82-advanced à droite

Calcul d’une probabilité du type (P(X=k))

Je considère ici une variable aléatoire (X) suivant une loi binomiale de paramètres (n=30) et (p=0,15)

On souhaite obtenir, en utilisant la calculatrice, une valeur approchée de (P(X = 3)). Pour cela, aller dans « distrib » (2nde puis var) puis « binomFdp » :

entrer et vous obtenez le résultat cherché :

Calcul d’une probabilité du type (P(Xleqslant k))

Vous arrivez alors sur l’écran ci-dessous :Il ne reste plus qu’à « Coller » puis appuyer sur la toucheet vous obtenez le résultat cherché :

Je considère ici une variable aléatoire (X) suivant une loi binomiale de paramètres (n=30) et (p=0,15)

On souhaite savoir, en utilisant la calculatrice, une valeur approchée de (P(X leqslant 3)). Pour cela, aller dans « distrib » (2nde puis var) puis « binomFRép » :

entrer et vous obtenez le résultat cherché :

Table de valeurs pour une loi binomiale

Vous arrivez alors sur l’écran ci-dessous :Il ne reste plus qu’à appuyer sur la toucheet vous obtenez le résultat cherché :

Je considère ici une variable aléatoire (X) suivant une loi binomiale de paramètres (n=30) et (p=0,15)

Le but est de déterminer le plus petit entier (a) tel que (P(Xleqslant a)geqslant 0,975). Pour cela on va créer un tableau de valeurs. Pour cela appuyer sur la touche f(x) :

X,T,(theta),n pour insérer la variable X dans la ligne valeur de x : 2nde+déf table et vérifier que la ligne « Pas » pour la ti82 et « (Delta)Tbl » pour la ti83 contiennent la valeur 1) : 2nde+table) :
On peut alors répondre à la question posée au début de cette partie : le plus petit entier (a) tel que (P(Xleqslant a)geqslant 0,975) est 9.

puis utiliser la fonction « binomFrép » et utiliser la touchepour insérer la variable X dans la ligne valeur de x : »Coller » afin que la formule complétée se reporte directement sur la première ligne des fonctions :Il faut maintenant vérifier que la table de valeur est définie uniquement pour des valeurs de X entières (pour cela faireet vérifier que la ligne « Pas » pour la ti82 et « (Delta)Tbl » pour la ti83 contiennent la valeur 1) :Puis utiliser la table () :La colonne « Y1 » contient toutes les valeurs de (P(Xleqslant k)) et les valeurs possibles de (k) sont les valeurs de la colonne « X ». Donc, en face de la valeur 8 de la colonne « X », on peut lire que (P(Xleqslant 8)) vaut 0,972 (valeur approchée). On peut aussi lire en face de la valeur 9 de la colonne « X », la valeur approchée de (P(Xleqslant 9)) qui est 0,99.On peut alors répondre à la question posée au début de cette partie : le plus petit entier (a) tel que (P(Xleqslant a)geqslant 0,975) est 9.

Loi Binomiale et prise de décision

On s’intéresse au chiffre d’affaire journalier d’un hypermarché pendant 30jours ouvrables, et on choisit une journée au hasard. On sait que 24,8 % deschiffres d’affaires journaliers dépassent 200 000 euros.

Soit X la variable aléatoire qui mesure, sur 30 jours ouvrables, lenombre de jours où le chiffre d’affaire dépasse 200 000 euros. Au vu deschiffres d’affaires journaliers des 30 jours ouvrables suivant sa campagnepublicitaire, la direction annonce que 7 d’entre eux dépassent 200 000 euros.

Peut-on mettre en doute le pourcentage annoncé par la direction ?

Solution:
X suit une loi binomiale de paramètre n = 30 et p = 0,248.
On cherche dans un premier temps pour cet exercice l’intervalle de fluctuationau seuil des 95% associé à la variable aléatoire X.
Il faut trouver un intervalle du type aveca le plus petit entier tel que et b le plus petit entier tel que

Pour cela, on fait apparaître la table des valeurs de la variable aléatoire:

Dans l’application graphique de la calculatrice , il faut faire appel à la fonction qui calcule les Pour cela il faut appuyer sur puis sur .

A l’aide des flèches de direction on sélectionne BinomFRép, qui est la deuxième fonction qui concerne la loi binomiale proposée par la calculatrice.

On valide en appuyant sur puis on complète la boite de dialogue qui s’affiche :

Le nombre d’essais est ici 30, la valeur de p est 0,248 et enfin on met X comme valeur de X puisque l’on veut la table de toutes les valeurs, X est donc une variable. On valide en appuyant sur , deux fois.

Il faut ensuite vérifier que la table de valeurs est bien réglée: en appuyant sur

la table commence à X = 0.
Ne pas oublier de bien vérifier que le pas est de 1.

Il ne suffit plus qu’à faire afficher la tableur des valeurs cumulées de la loi en appuyant sur les touches
pour obtenir la table suivante:

En utilisant les flèches directionnelles de la calculatrice, on trouve a = 3 qui est bien le plus petit entier tel que et b = 12 qui est bien le plus petit entier tel que

L’intervalle de fluctuation est donc ,on vérifie aisément que qui est lafréquence annoncée par l’entreprise appartient bien à l’intervalle defluctuation, on accepte donc le pourcentage donné par la direction au seuil des95%.

Remarque: Cette méthode vue en 1ère et abordée dans le chapitreEchantillonnage est essentielle. Toutefois, il existe une approcheplus rapide, qui sera abordée dans une autre vidéo qui présente l’utilisation dela nouvelle instruction InvBinom * permettant de trouver directementles paramètres a et b sans passer par la table de valeurs

(* présente dès l’OS 5.2)

Il sera plus particulièrement utile aux élèves de Première S et Terminale S.

BINOMALL permet:

– de rappeler la formule de la loi binomiale
– de choisir les paramètres n et p
– de demander les probabilités de différents types événements
– de rappeler les formules des espérance, variance et écart type et de donner leurs valeurs
– d’obtenir les valeurs sous forme exacte lorsque possible

Parmi les évenements possible, il y a le plus simple (que tout programme de ce type gère),
mais bien plus encore (et ça c’est beaucoup plus rare…)

On peut citer les événements:
* X=k (le plus courant)
* X>=k (questions utilisant au moins)
* X<=k (questions utilisant au plus)
* X>k
* X<k
* a<X<b
* …

Au total 10 types d’événements sont gérés.

La probabilité est fournie sous forme décimale, et si possible en écriture fractionnaire.

[panneau]Informations techniques :

– Compatible avec : TI-83 Plus, TI-84 Plus (testé)
– Incompatible avec : –
– ROMs supportées : toutes
– Bugs reportés : -[/panneau]

BINOMALL est un petit programme de loi binomiale.Il sera plus particulièrement utile aux élèves de Première S et Terminale S.BINOMALL permet:- de rappeler la formule de la loi binomiale- de choisir les paramètres n et p- de demander les probabilités de différents types événements- de rappeler les formules des espérance, variance et écart type et de donner leurs valeurs- d’obtenir les valeurs sous forme exacte lorsque possibleParmi les évenements possible, il y a le plus simple (que tout programme de ce type gère),mais bien plus encore (et ça c’est beaucoup plus rare…)On peut citer les événements:* X=k (le plus courant)* X>=k (questions utilisant au moins)* X<=k (questions utilisant au plus)* X>k* X