Une fonction f définie dans un sous-ensemble E de nombres réels admet un maximum M en un point a de E si M = f(a) et si, quel que soit (x) de E, f((x)) est inférieur ou égal à f(a).
On dit alors que M est le maximum de l’ensemble des images de f.
Exemple
Soit la fonction définie par f((x)) = –(x^{2}) + 4, représentée par la parabole ci-dessous :
Si (x = 0), alors (f(x) = 4).
Pour toute autre valeur de (x), (f(x) < 4).
Le maximum de l’image de cette fonction est donc 4.
On peut aussi dire que 4 est le maximum de la fonction f.
Si on a la fonction définie par (f(x) = x^{2} + 4), cette fonction n’a pas de maximum, mais son minimum est 4.
Soit une fonction croissante sur un intervalle D1, puis décroissante sur un intervalle D2, et encore croissante sur un intervalle D3, etc. Elle passera par un maximum et un minimum (si elle ne pars pas à l’infini). C’est le sujet de cette deuxième section.
Définition
Maximum et Minimum
Soit une fonction
f
définie sur un domaine D et I un intervalle de D et
a
un réel de I.
-
f (a)
est le minimum de
f
sur I si et seulement si pour tout
x
∈ I on a
f
(
x
) ≥
f
(
a
),
-
f (a)
est le maximum de
f
sur I si et seulement si pour tout
x
∈ I on a
f
(
x
) ≤
f
(
a
).
Soit une fonctiondéfinie sur un domaine D et I un intervalle de D etun réel de I.
En fait, si toutes les valeurs de f(x) sont supérieurs à la valeur f(a), c’est que f(a) est la plus petite valeur de la fonction. f(a) est le minimum de la fonction.
Et si toutes les valeurs de f(x) sont inférieurs à la valeur f(a), c’est que f(a) est la plus grande valeur de la fonction. f(a) est le maximum de la fonction.
Exemple
f
(
x
)=
cos x
sur [-5 ; 5] représenté si-dessous.
En bleu, le maximum atteint en
x
= 0 et vaut
f
(0) = 1.
En rouge, le minimum atteint deux fois dans cette intervalle, en
x
= -3,14 et
x
= 3,14 qui vaut
f
(-3,14) =
f
(3,14) = -1.
Considérons la fonction cosinus)=sur [-5 ; 5] représenté si-dessous.En bleu, le maximum atteint en= 0 et vaut(0) = 1.En rouge, le minimum atteint deux fois dans cette intervalle, en= -3,14 et= 3,14 qui vaut(-3,14) =(3,14) = -1.
Remarque
Les fonctions qui tendent vers l’infini ne possèdent pas de maximum (ou de minimum).
Si une fonction possède un maximum (ou un minimum), il est
unique
, mais il peut être atteint plusieurs fois, comme on l’a vu dans l’exemple précédent.
Et comment on montre qu’une fonction a un maximum ou un minimum ?
J’attendais la question. On s’appuis sur le fait que si la fonction change de sens de variation, alors elle possède un maximum (ou un minimum).
Vous faites donc comme suit (m est le minimum et M le maximum et a et b sont deux réels) :
- On montre que la fonction est croissante sur un intervalle [
a
;
M
] (ou décroissante sur [
a
;
m
]),
- On montre que la fonction est décroissante sur un intervalle [
M
;
b
] (ou croissante sur [
m
;
b
]).
Alors la fonction admet un maximum
M
(ou un minimum
m
).
Alors la fonction admet un maximum(ou un minimum).
Remarque
Il y a une deuxième méthode :
Si
f
(
M
) –
f
(
x
) > 0, alors
M
est le maximum de
f
.
Si
f
(
m
) –
f
(
x
) < 0, alors m est le minimum de
f
.
Exemple
f(x)
=
x
² admet un minimum en 0 qui est 0.
En effet, la fonction carrée est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; ∞[. De plus,
f
(0) = 0.
Cela se voit clairement sur le graphe.
La fonction carré² admet un minimum en 0 qui est 0.En effet, la fonction carrée est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; ∞[. De plus,(0) = 0.Cela se voit clairement sur le graphe.
Remarque
On appelle extrema le maximum
et
le minimum d’une fonction.
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Extremum d’une fonction
Définition d’un extremum
Un extremum est une valeur extrême, qui peut correspondre à un minimum ou à un maximum, prise par une valeur sur un intervalle donné.
Le maximum d’une fonction « f », définie sur un intervalle I, correspond à une valeur f(a) (« a » appartenant à I) telle que pour tout nombre « x » de cet intervalle f(x) 
f(a)
Le minimum d’une fonction « f » définie sur un intervalle I correspond à une valeur f(b), (« b » appartenant à I) telle que pour tout nombre « x » de cet intervalle f(x) 
f(a)
Définition d’un extrememum local
Une fonction « f » définie sur un ensemble I admet un maximum local f(c) s’il existe un intervalle ouvert J, inclus dans I, sur lequel f(c) correspond à un maximum, c’est à dire tel que pour tout « x » de J, f(x) f(c).
De même une fonction « f » définie sur un ensemble I admet un minimum local f(d) s’il existe un intervalle ouvert J, inclus dans I, sur lequel f(d) correspond à un minimum, c’est à dire tel que pour tout « x » de J, f(x) f(c).
Exemples d’extremum et d’extremum local
La courbe ci-dessous représente une fonction f définie sur l’intervalle [-2 ; 5]
– Le maximum de la fonction « f » correpond à l’ordonnée du point D et sont minimum à l’ordonnée du point C
– L’abscisse du point C correpond également à un minimum local puisque qu’il le minimum, par exemple, sur l’intervalle ouvert ]1 ; 4[
– L’absisse du point B correpond à un maximum local puisqu’il est le maximum, par exemple, sur l’intervalle ouvert ]-1 ; 1[
Dérivée et extremum local
Si une fonction atteint un extremum local en un point « a » de son ensemble de définition alors la dérivée en ce point est nulle: f'(a) = 0
Pour trouver chaque extremum local d’une fonction il suffit de déterminer les points pour lesquelles sa dérivée s’annulle. Attention, cette condition est nécessaire mais n’est pas suffisante, il faut également qu’en ce point se produise un changement de variation (donc un changement de signe de la dérivée) sinon il ne correspond qu’à un palier de la fonction et non à un extremum.
Exemple:
Cette courbe présente un palier horizontal au point A, donc la dérivée s’y annule mais sa variation reste la même avant et après ce point (elle est croissante) donc ce point n’est pas un extremum mais seulement un « palier »
Cette courbe présente un palier horizontal au point A, donc la dérivée s’y annule mais sa variation reste la même avant et après ce point (elle est croissante) donc ce point n’est pas un extremum mais seulement un « palier »
Si la dérivée d’une fonction s’annule un point de son ensemble de définition et change de signe alors ce point correspond à un extremum local:
– si la dérivée est négative avant ce point (f décroissante) puis positive après (f croissante) alors il s’agit d’un minimum local.
– si la dérivée est positive avant ce point (f croissante) puis négative après (f décroissante) alors il s’agit d’un maximum local.
Dans l’étude des fonctions, au lycée par exemple, il arrive assez fréquemment que les professeurs de mathématiques demandent à leurs élèves de calculer le minimum ou le maximum d’une fonction du second degré. La détermination de cette valeur, qui est l’ordonnée du sommet, peut se faire à partir d’une fonction présentée sous sa forme développée (f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
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