Mettre un problème en équation

Trois cousins, Zoé, Luc et Serge ont à eux trois 60 ans.

Quel est l’âge de chacun, sachant que Luc a le triple de l’âge de Zoé et que Serge a dix ans de moins que Luc ?

Choix de l’inconnue

Appelons x l’âge de Zoé.

On peut exprimer les âges des deux autres cousins en fonction de x.

• Luc a le triple de l’âge de Zoé, donc l’âge de Luc est 3x.
• Serge a dix ans de moins que Luc, donc l’âge de Serge est (3x − 10).

Mise en équation

On sait par ailleurs que la somme des âges des 3 cousins est de 60 ans.

Donc : x + 3x + (3x − 10) = 60.

Résolution de l’équation

x + 3x + 3x − 10 
= 60
7x − 10 
= 60
7x 
= 70
x 
= 10

Réponse à la question

Zoé a 10 ans ;
Luc a 3 × 10 ans, soit 30 ans
et Serge a (30 − 10) ans, soit 20 ans.

Zoé a payé 10 € pour acheter un cahier de textes à 4 € et trois feutres à pointe fine.

Quel est le prix d’un feutre ?

Choix de l’inconnue

On cherche le prix d’un feutre.
C’est l’inconnue. On la note x.

Le prix des 3 feutres sera noté 3x.

Mise en équation

Les 10 € que Zoé a donnés correspondent à la somme du prix des 3 feutres (3x) et du prix du cahier de textes (4 €).

Ce qui s’écrit en langage mathématique :
10 = 3x + 4.

Résolution de l’équation

En résolvant l’équation, on détermine x, le prix d’un feutre.

3x + 4 = 10
3x = 10 − 4
3x = 6
x = 6 ÷ 3
x = 2

Réponse à la question

Le prix d’un feutre est 2 €.

Cours maths 4ème

Résolution de problèmes à l’aide d’équations

Ici, il s’agira de traiter la résolution de problèmes à l’aide d’équations, conformément au programme officiel de la classe de 4ème . L’accent est alors mis sur l’enchaînement des étapes de résolution de tels problèmes, c’est-à-dire : mise en équation, résolution de l’équation et interprétation du résultat. Ce cours demande à l’élève de bien maîtriser la résolution des équations.

 

Petits rappels sur la résolution d’équations

Comment résoudre une équation ?

Deux règles de calcul vont nous être utiles pour résoudre les équations :

Lorsque l’on ajoute ou que l’on soustrait un même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité.
Si a = b alors a + c = b + c
Si a = b alors a – c = b – c
Lorsque l’on multiplie ou que l’on divise par un même nombre différent de zéro les deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité.
Si a = b alors a x c = b x c
Si a = b alors a : c = b : c

Exemples d’application à la résolution d’équations :

Nous venons de montrer que cette équation admet une seule et unique solution : x = 5,5

Nous venons de montrer que cette équation admet une seule et unique solution : x = 144

Nous venons de montrer que cette équation admet une seule et unique solution : x = 31

C’est une question de vocabulaire

Exemples faciles:

a. « Le double de m vaut 97 » se traduit par : 2m = 97
b. « Le triple de la somme de t et de 7 vaut 36 » se traduit par : 3(t+7) = 36
c. « L’octuple de p ajouté de 9 vaut 65 » se traduit par : 8p + 9 = 65
d. « 50 retranché du septuple de b vaut 36 » se traduit par : 7b – 50 = 36
e. « Dans un magasin les CD sont vendus au prix unique de 9,50 euros. La recette est de 1016,50 euros » . Si N est le nombre de CD vendus, l’énoncé se traduit par : 9,50N = 1016,50

 

La résolution de problèmes à l’aide d’équations

Les résolutions de problèmes faisant appel à des équations doivent être rigoureuses si l’on veut qu’elles aient un sens.

Sur ce type de travail, nous dégagerons chaque fois 3 étapes:

1ère Étape: Déclarer l’inconnue du problème et mettre en équation ce problème.

2ème Étape: Résoudre l’équation.

3ème Étape: Interpréter le résultat.

Exemple de problème

Monsieur Mathenfolie pense à un nombre, il lui ajoute 20, puis il double le résultat. Curieusement, il trouve dix fois le nombre de départ.

A quel nombre M. Mathenfolie peut-il bien avoir pensé ?

Soit N le nombre mystérieux de M. Mathenfolie.
L’équation du problème est : (N + 20) x 2 = 10N

(N + 20) x 2 = 10N
(N + 20) x 2 : 2 = 10N : 2
N + 20 = 5N
N + 20 – N = 5N – N
20 = 4N
20 : 4 = 4N : 4
N = 5

 

 

 

Le nombre mystérieux de M. Mathenfolie est : 5

 

 

A.

Un père dispose de 1600 € pour ses trois enfants. Il veut que l’aîné ait 200 € de plus que le second et que le second ait 100 € de plus que le dernier.
Quelle somme doit il donner à chacun ?

Choix de l’inconnue:
Soit x la somme donnée au dernier (par exemple)
Mise en équation :
le dernier a x
le deuxième a x + 100
le troisième a ( x +100) + 200 = x + 300 ( il a 200 de plus que le second ).
la somme totale est 1600, donc
x + ( x +100 ) + ( x + 300 ) = 1600
Résolution de l’équation :
x + ( x +100 ) + ( x + 300 ) = 1600
3 x + 400 = 1600
3 x = 1600- 400
3 x = 1200
x = 1200 : 3
x = 400
Vérification : 400 + 500 + 700 = 1600

Conclusion : le dernier a 400 € , le deuxième 500 € et l’aîné 700 € .

B.

Un jardin a une forme rectangulaire. Il a vingt mètres de moins dans la largeur que dans la longueur. La longueur totale de la clôture qui l’entoure est 250 m.
Quelle est l’aire de ce jardin ?

Choix de l’inconnue:
pour calculer l’aire du jardin, il faut connaître sa longueur et sa largeur
Soit x la longueur du jardin en mètres.
Mise en équation :
la largeur est x – 20
le périmètre est la somme des longueur des côtés donc :
x + x -20 + x + x -20 = 4 x – 40
il vaut 250. Donc :
4 x – 40 = 250
Résolution de l’équation :
4 x – 40 = 250
4 x = 250 + 40
4 x =290
x = 290 : 4
x = 72,5
Vérification : 72,50 m est une longueur raisonnable pour un jardin.
La largeur est alors 72,5-20 = 52,5
Conclusion :
72,5 52,5 = 3806,25.
L’aire du jardin est 3806,25 m 2 .