Modélisation de la concentration d’un médicament dans le sang

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Modélisation de la concentration d’un médicament dans le sang

Modélisation de la concentration d’un médicament dans le sang

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.

On obtient la courbe fournie en annexe.

A. étude graphique

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

>1. la concentration à l’instant initial (0,5 point)

>2. l’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre. (0,5 point)

On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires.

B. étude théorique

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction définie sur l’intervalle [0 15] par , où représente le nombre d’heures écoulées depuis l’instant initial et la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.

>1. On note la fonction dérivée de la fonction . Justifier que et en déduire le tableau de variation de la fonction sur [0 15]. (0,75 point)

>2. Justifier que l’équation admet une unique solution sur l’intervalle [0 15]. (0,75 point)

>3. Déterminer un encadrement de d’amplitude un dixième. (0,5 point)

>4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :

En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction sur l’intervalle [0 15] et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion. (0,75 point)

C. interprétation des résultats

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous :

>1. On estime que le médicament n’est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ? (0,5 point)

>2. Au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit-elle ? (0,75 point)

Annexe

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2014

correction de l’exercice 4 : commun à tous les candidats

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.
On obtient la courbe suivante.

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A. étude graphique :

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

1. la concentration à l’instant initial ;

   La concentration à l’instant initial est de 2 grammes par litre.

2. l’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre.
   On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.

   L’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre est d’environ 6 heures.

B. étude théorique :

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [0;15] par f⁡(x)=(x+2)⁢e-0,5⁢x, où x représente le nombre d’heures écoulées depuis l’instant initial et f⁡(x) la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.

1. On note f′ la fonction dérivée de la fonction f. Justifier que f′⁡(x)=-0,5⁢x⁢e-0,5⁢x et en déduire le tableau de variation de la fonction f sur [0;15].

   • f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=u⁢v d’où f′=u′⁢v+u⁢v′ avec pour tout réel x de l’intervalle [0;15], {u⁡(x)=x+2;u′⁡(x)=1v⁡(x)=e-0,5⁢x;v′⁡(x)=-0,5⁢e-0,5⁢x

     Soit pour tout réel x de l’intervalle [0;15], f′⁡(x)=e-0,5⁢x+(x+2)×(-0,5⁢e-0,5⁢x)=e-0,5⁢x-0,5⁢x⁢e-0,5⁢x-e-0,5⁢x=-0,5⁢x⁢e-0,5⁢x

     Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f′ définie sur l’intervalle [0;15] par f′⁡(x)=-0,5⁢x⁢e-0,5⁢x.

   • Pour tout réel x, e-0,5⁢x>0 donc pour tout réel x de l’intervalle [0;15], -0,5⁢x⁢e-0,5⁢x<0.

     Sur l’intervalle [0;15], f′⁡(x)<0 donc la fonction f est strictement décroissante. D’où le tableau de variation de la fonction f sur [0;15] :

     x

     0 15f′⁡(x) −f⁡(x)

     2

     fonction décroissante : l’illustration svg n’est pas visible par votre navigateur.

2. Justifier que l’équation f⁡(x)=0,1 admet une unique solution α sur l’intervalle [0;15].

   f⁡(0)=2 et f⁡(15)=17⁢e-7,5≈0,009.

   Sur l’intervalle [0;15], la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et f⁡(15)<0,1<f⁡(0) alors, d’après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f⁡(a) et f⁡(b), l’équation f⁡(x)=k admet une solution unique α située dans l’intervalle [a;b].

   l’équation f⁡(x)=0,1 admet une unique solution α sur l’intervalle [0;15].

3. Déterminer un encadrement de α d’amplitude un dixième.

   À l’aide de la calculatrice, on trouve 9,4<α<9,5

4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :

    1 deriver ((x + 2)*exp(-0.5*x))exp(-0.5*x) − 0.5* exp(-0.5*x)*(x + 2) 2 deriver (exp(-0.5*x) − 0.5*exp(-0.5*x)*(x + 2))-exp(-0.5*x) + 0.25 *exp(-0.5*x)*(x + 2) 3 factoriser (-exp(-0.5*x) + 0.25*exp(-0.5*x)*(x + 2))(0.25*x − 0.5)*exp(-0.5*x)

   En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction f sur l’intervalle [0;15] et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie sur l’intervalle [0;15] par f″⁡(x)=(0,25⁢x-0,5)⁢e-0,5⁢x

   Comme pour tout réel x, e-0,5⁢x>0 alors f″⁡(x) est du même signe que 0,25⁢x-0,5 sur l’intervalle [0;15].

   x

   0215Signe de f″⁡(x)

   −

   0||

   +

   Convexité de

   f

   f est concave

    

   f est convexe

    

   La fonction f est concave sur l’intervalle [0;2] et convexe sur l’intervalle [2;15]. La courbe C admet un point d’inflexion au point d’abscisse 2.

C. interprétation des résultats :

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous.

1. On estime que le médicament n’est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ?

   La fonction f est strictement décroissante et f⁡(α)=0,1 donc f⁡(x)<0,1⇔x>α avec 9,4<α<9,5

   Le médicament est actif pendant 9 heures et 30 minutes.

2. Au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit-elle ?

   Au point d’abscisse 2, la fonction f change de convexité donc au bout de deux heures la baisse de concentration ralentit.

https://www.youtube.com/watch?v=