Définitions
Nous avons déjà vu la notion de compatibilité entre une application et deux relations d’ordre.Ceci s’applique aux suites puisque nous avons sur ℕ la relation d’ordre ≤ ainsi que son prolongement sur ℝ.
Ainsi une suite ‘croissante’ (au sens large) sera tout simplement une suite u vérifiant un≥um ∀ (m,n) tel que n≥m.
De la même façon nous avons les suites strictement croissantes.
Une suite ‘strictement croissante’ sera tout simplement une suite u vérifiant un>um ∀ (m,n) tel que n>m.
Il résulte de la définiton que les suites strictement croissantes sont injectives.
Les suites décroissantes et strictement décroissantes sont définies de même.
Ainsi une suite ‘décroissante’ (au sens large) sera tout simplement une suite u vérifiant un≤um ∀ (m,n) tel que n≥m.
Une suite ‘strictement décroissante’ sera tout simplement une suite u vérifiant un<um ∀ (m,n) tel que n>m.
Les suites ‘monotones’ sont les suites croissantes ou décroissantes.
Les suites ‘strictement monotones’ sont les suites strictement croissantes ou strictement décroissantes.
Une suite est dite ‘stationnaire’ ou ‘constante’ si tous ses termes sont égaux.
A partir d’un certain rang
En fait, dans ce chapitre, nous étudions principalement les suites du point de vue de leur comportement ‘asymptotique’, c’est à dire que nous cherchons à connaître le comportement des suites lorsque l’indice devient très grand.
On néglige donc pratiquement ce qui se passe au début de la suite, pour un nombre fini d’indices.
Nous aurons donc la notion de suite ‘monotone à partir d’un certain rang’, c’est à dire telles que les définitions s’appliquent seulement pour les couples d’indices (m,n) supérieurs à une certaine valeur n0.
Types de croissance
Parmi les suites croissantes on peut établir une hiérarchie. Certaines suites croissent ‘plus vite’ que d’autres.
Introduisons d’ores et déjà la ‘notation de Landau’ pour les suites.
Soient u=(un) n ∈ℕ et v=(vn) n ∈ℕ deux suites. Nous écrirons v=O(u) si il existe une constante k>0, telle qu’à partir d’un certain rang n0 on ait |vn|≤k|un|
Ainsi on distingue les suites croissantes ‘linéaires’ (du type O(n)) des suites croissantes ‘quadratiques’ (du type O(n²)), et plus généralement les suites croissantes de type ‘polynomial’ (en O(p(n)) où p(n) est un polynôme de degré quelconque) des suites croissantes de type ‘exponentiel’ (en O(an) où a est une constante réelle >0).
Exemples
- La suite de Fibonacci est une suite croissante, strictement à partir du rang 1, de type exponentiel.
- Les suites géométriques de raison q>1 avec un premier terme positif sont croissantes de type exponentiel.
- Les suites arithmétiques de raison r>0 sont strictement croissantes.
- Les suites arithmétiques de raison r<0 sont strictement décroissantes.
- Les suites arithmétiques de raison nulle sont stationnaires.
- Les suites géométriques de raison q=1 sont stationnaires.
- Les suites géométriques de premier terme non nul et de raison q<0, ne sont pas monotones.
- Cette suite est strictement décroissante à partir du rang 3.
Comment démontre-t-on …?
Pour démontrer qu’une suite est croissante on peut démontrer que la différence un+1-un est ≥0 (toujours ou bien seulement à partir d’un certain rang selon les cas).
Ceci résulte simplement de la transitivité de ≥
si un+1 ≥ un et un+2 ≥ un+1 alors un+2 ≥ un et ainsi de suite …
Cette démonstration peut être directe ou par récurrence.
Pour les suites à termes positifs on peut également démontrer que le rapport un+1/un est <1.
‘Etudier la variation’ d’une suite signifie prouver qu’elle est croissante, décroissante, toujours ou à partir d’un certain rang, ou bien qu’elle n’est ni l’un ni l’autre.
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Quasiment tous les élèves de Première et d’après sont amenés à étudier les suites géométriques. Nous ferons en sorte de dépasser tout carcan…
Des suites géométriques…
De leur définition.
Les suites géométriques sont chez les suites des fonctions puissanceschez… les fonctions.
Une suite est dite géométrique si pour passer d’un rang au suivant onmultiplie toujours par la même quantité. Cette quantité est encore appelée raison.
Donnons-en une définition plus mathématique.
Définition d’une suite géométrique.
Dire que la suite (un) est géométrique de raison q signifie que pour tout entier naturel n,
un+1 = un × q
Autrement dit, nous avons la chose suivante :
Autrement dit :
Propriété : Si (un) est une suite géométrique de raison q alors pour tout entier n, un = u0 × qn De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques alors
un = up × qn-p
Ces formules permettent de calculer n’importe quel terme d’une suite géométrique ou bien encore sa raison. Voyons cela sur quelques exemples.
- (un) est une suite géométrique de raison q = -3 et telle que u7 = 24 . Déterminer u13.
Nous pourrions passer par le premier terme de la suite u0. Mais ce n’est pas nécessaire.
On peut écrire que :u13 = u7 × q13-7 = 24 × (-3)6 = 24 × 729 = 17496
- Déterminer la raison q et le premier terme v0 de la suite géométrique (vn) sachant que
v4 = 7 et v7 = 56.Commençons par la raison q. On peut écrire que :
v7 = v4 × q7-4 d’où 56 = 7 × q3 d’où q3 = 8 d’où q = 2 Car un seul nombre a pour cube 8 : il s’agit de 2.
Pour ce qui est du premier terme v0, on peut écrire que :
v4 = v0 × q4 d’où 7 = v0 × 24 d’où v0 =
Il est même possible d’être nettement plusvicieux…
Le truc en plus : pour démontrer qu’une suite est géométrique, il suffit de prouver que le quotient de deux termes consécutifs est constant. C’est-à-dire qu’il suffit de montrer que pour tout entier n,
= constante
De la Monotonie.
Contrairement aux suites arithmétiques, les géométriques ne sont pasnécessairement monotones. Voyons cela en détail…
(un) est donc une suite géométrique de raison qet de premier terme u0.
Pour tout entier n, on peut écrire que :
un+1 – un = u0 × qn+1 – u0 × qn = u0 × qn × q – u0 × qn = u0 × qn × (q -1)
La monotonie dépend donc du signe des facteurs u0, qn et q – 1.
Première chose : pour que la suite soit monotone, il faut quela différence soit toujours positive ou toujours négative.
Or si la raison q est négativealors qn sera tantôt positif (si n est pair) tantôt négatif (si n est impair).
Donc si q est négatif alors la suite n’est pas monotone.
Voyons à présent ce qu’il en est lorsque q est positif. Pour cela, nous allons dresser une sorte de tableau de signe en deux dimensions : en abscisse nous mettrons q, en ordonnée u0.
Nous pourrions pour conclure faire une propriété. Mais serait-elle bien nécessaire ?
D’abord, le schéma ci-dessus résume tous les cas possibles.
Enfin, dans la pratique, face à une suite géométrique dont on connaît un premier terme et la raison, il est facile de connaître le signe de la différence un+1 – un : il suffit de procéder ainsi que nous venons de le faire dans le cas général…
De l’utilité des suites géométriques.
Les suites géométriques servent dans ce qui est la seule vraie valeur de la vie : le pognon.
En effet, elles permettent de calculer ce que rapportera un placement au boutd’un certain nombre d’années. Un exemple avec ce qui suit :
Un placement avec intérêts capitalisés.
Il y a douze ans, Mr Pognon a placé 50000 francs sur un compte rémunéré au taux de 4% l’an, avec intérêts capitalisés.
De quelle somme dispose-t-il aujourd’hui ?
Il s’agit là d’un simple problème de suite. Le tout est de bien modéliser le phénomène (on parle de la capitalisation…).
On appelle un la somme dont il dispose la nième année.
La première année, son capital s’élève à 50000 francs donc u1 = 50000.
La seconde année, le capital rapporte 4%. Comme les intérêts sont capitalisés, le capitale augmente donc de 4%. Ainsi :
u2 = u1 + 4% de u1 = u1 + 0,04 × u1 = 1,04 × u1
La troisième année, le capital de l’année précédente rapporte encore 4% d’intérêts qui sont eux aussi capitalisés. Donc :
u3 = u2 + 4% de u2 = 1,04 × u2
…. La nième année, le capital de l’année précédente est toujours majoré de 4%. Donc :un = un-1 + 4% de un-1 = un-1 × 1,04 .
On construit donc ainsi une suite géométrique de premier terme u1 = 50000 et de raison q = 1,04.
Donc pour tout entier n, un = u1 × qn-1 = 50000 × 1,04n-1.
Pour connaître la somme dont il disposera au bout de 12 années, il suffit donc de calculer u12.
u12 = 50000 × 1,0412 = 80051,6…
Conclusion : il dispose aujourd’hui de 80051 francs. En douze ans, son capital a donc progressé de 60 %.
Comme quoi, même les petites sommes permettent de faire de grands profits !
Somme des n+1 premières puissances d’un nombre réel.
Calculer la somme de 4 premières puissances de 2, c’est-à-dire 1 + 2 + 4 + 8 ne pose guère de problème. Maisdès que l’on s’attaque à la somme des 10 premières puissances, les choses se corsent.
L’objet de ce paragraphe est de trouver une formule donnant la somme des n+1 premières puissances d’un réel q. C’est-à-dire qu’il s’agit de calculer :
Qn = 1 + q + q2 + q3 + …. + qn-1 + qn
La présente somme comprend n+1 termes qui sont les n+1 premières puissances de q.
Pour note 1 est aussi q0.
Cette formule recherchée est l’histoire que narre l’animation que voici :
Ainsi donc :
Théorème : Si n est un entier naturel non nul et si q est un réel différent de 1 alors :
Par exemple, la somme des 11 premières puissances de 2 est égale à :
Note : cette formule peut aussi être démontrée par récurrence.
On pourrait croire que cette formule n’a d’autre vertu que d’exister. C’est une croyance car elle peut être employée pour calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique.
Elle peut en particulier servir dans des problèmes de cyclisme.
Le truc en plus : il existe une formule permettant de calculer la somme de tous les termes compris entre un rang p et un rang n d’une suite géométrique de raison q.
En effet, pour tout entier naturel n et p, on peut écrire que :
Ainsi :
Bien sûr, la raison q doit être différente de 1…
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