On donne un triangle IJK avec : IJ = 3,6 ; IK = 4,5. On place E sur [IJ] et F sur [IK] tels que : IE = 2,4 et IF = 3. On veut prouver que : (EF) // (KJ).
Résolution
On va utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
Par hypothèse, I, E, J, d’une part et I, F, K, d’autre part, sont alignés et ceci dans le même ordre.
1,5 ; 
1,5
On calcule que :1,5 ;1,5
.
Donc
Les deux hypothèses de la réciproque du théorème de Thalès étant vérifiées, on en déduit que : (EF) // (KJ).
Démonstration de la perpendicularité de deux droites
Deux droites parallèles et une perpendiculaire
Propriété de cours de maths seconde : Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
La médiatrice d’un segment
On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce segment et passant par le milieu de ce segment.
Propriété de cours de maths : Si une droite est la médiatrice d’un segment, alors elle st perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Une hauteur d’un triangle
Une hauteur est une droite dans un triangle passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
- Les trois hauteurs d’un triangles sont concourantes ;
- Le point d’intersection des 3 hauteurs est appelé l’orthocentre du triangle ;
- Quand le triangle a 3 angles aigus l’orthocentre est à l’intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus l’orthocentre est à l’extérieur du triangle.
Un triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle dont l’un des angles mesure 90° et est donc un angle droit. Le côté opposé à cet angle droit est appelé l’hypoténuse. Les deux autres côtés sont les cathètes.
Propriété : Si un triangle est rectangle, alors les deux cotés de l’angle droit sont perpendiculaires.
Le théorème de Pythagore
Pythagore a énoncé dans son théorème la phrase suivante :
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Cela signifie que pour un triangle ABC rectangle en A : AB² + AC² = BC². Trouvez des cours de maths terminale s.
La réciproque du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore est très fréquemment utilisé afin de pouvoir démontrer qu’un triangle est rectangle ou ne l’est pas. On utilise pour cela la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore :
Si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en C. Si AB² n’est pas égal à AC² + BC² alors le triangle n’est pas rectangle en C. En effet, si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n’est pas rectangle.
Un rectangle
Un rectangle se caractérise comme étant un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.
Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle, alors deux cotés consécutifs de ce rectangle sont perpendiculaires. Besoin de cours de maths 3ème ?
Un losange
Le losange est un quadrilatère dont la particularité est de posséder deux côtés consécutifs de même longueur. Il arrive aussi parfois qu’il porte le nom de rhombe, ce qui lui vaut comme adjectif le mot rhombique.
Propriété : Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.
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Démontrer que deux droites sont parallèles
Les angles alternes-internes
On dit de deux angles qu’ils sont alternes-internes lorsque ces deux angles sont formés par deux droites dont une autre droite est sécante aux deux autres. Se plus, les deux angles doivent être situés de part et d’autre de la droite sécantes des deux premières droites. On peut reformuler la définition de la façon qui suit : Deux angles sont alternes-internes par rapport à deux droites et une sécante lorsqu’ils sont entre les deux droites, qu’ils sont chacun sur une droite et qu’ils sont de part et d’autre de la sécante. Il peut être intéressant de remarquer que deux droites et une droite sécantes forment plusieurs couples d’angles alternes-internes. A vous de vous entraîner pour les retrouver ! Si deux droites parallèles coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes, alors ces angles sont de même mesure. La réciproque à cette règle est également vraie : Si deux angles alternes-internes de même mesure sont définis par deux droites et une sécante, alors ces deux droites sont parallèles.
Les angles correspondants
On dit de deux angles qu’ils sont correspondant lorsque ces deux angles sont formés par deux droites et une autre droite qui est sécante aux deux premières droites. De plus, les angles doivent être situés du même côté sur chacune des deux droites. On peut reformuler la définition de la façon qui suit : Deux angles sont correspondants par rapport à deux droites et une sécante lorsqu’un des deux angles est à l’extérieur des deux droites et qu’ils sont du même côté de la sécante. Si deux droites parallèles coupées par une sécantes forment deux angles correspondants, alors ces angles sont de même mesure. La réciproque à cette règle est également vraie : Si deux angles correspondants de même mesure sont définis par deux droites et une sécante, alors ces deux droites sont parallèles.
La propriété des droites parallèles à une même troisième
Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
La propriété des droites perpendiculaires à une même troisième
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
La propriété des côtés opposés d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange, d’un carré
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses cotés opposés parallèles.
- Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur deux à deux et ses quatre angles sont droits.
- Si un quadrilatère est un losange alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ses quatre côtés sont de même longueur.
- Si un quadrilatère est un carré alors il a quatre côtés de même longueur, quatre angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
On peut définir le carré comme un quadrilatère régulier. Cela signifie qu’il a un certain nombre côtés qui sont tous de la même taille. Il a les caractéristiques du losange et du rectangle. Ses 4 angles ont la même mesure et ses 4 côtés ont la même longueur. Le carré possède 4 angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ses 4 côtés sont de même longueur.
La propriété de la droite qui passe par le milieu de deux côtés d’un triangle
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.
Le théorème de Thalès
Dans un triangle ABC, si le point D est sur la droite (AB) et le point E sur la droite (AC) et que (DE) et (BC) sont parallèles, alors : [ frac { A D } { A B } = frac { A E } { A C } =frac { D E } { B C } ] Le théorème de Thalès permet de faire des calculs sur les triangles. Il en découle d’autres théorèmes ou règles, tel que le théorème de la droite des milieux. Il stipule la phrase suivante :
Si un segment joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième côté, et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté
La réciproque du théorème de Thalès
- Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
- Soient B et M deux points de (d) distincts de A.
- Soient C et N deux points de (d’) distincts de A.
Alors, si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. On peut également la formuler autrement : Dans un triangle ABC, soient les points D et E appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC], [text { si } frac { A D } { A B } text { et } frac { A E } { A C } }] sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
La propriété de la symétrie centrale et de la translation
Par une symétrie centrale, par une translation, l’image d’une droite est une droite parallèle.
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