Polygone a 10 coté

Un décagone est un polygone à 10 sommets, donc 10 côtés et 35 diagonales.

La somme des angles internes d’un décagone non croisé vaut 1 440°.

Un décagone régulier est un décagone dont les dix côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a deux : un étoilé (le décagramme (en) noté {10/3}) et un convexe (noté {10}). C’est de ce dernier qu’il s’agit lorsqu’on dit « le décagone régulier ». Il est constructible.

Aire d’un décagone régulier

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L’aire d’un décagone régulier de côté a vaut 5   a 2 2 cot ⁡ π 10 = 5   a 2 2 5 + 2 5 . {displaystyle {frac {5~a^{2}}{2}}cot {tfrac {pi }{10}}={frac {5~a^{2}}{2}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}.}

Constructions d’un décagone régulier

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Construction approximative à l’aide du rapporteur

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Cette construction est excessivement simple mais n’est pas forcément exacte :

• Tracer un cercle Γ de centre O.
• Soit A un point quelconque appartenant à Γ.
• Il suffit alors de placer le point B sur Γ de façon que l’angle

  A O B ^ {displaystyle {widehat {AOB}}}

  rapporteur, ce qui peut être source d’inexactitudes dans le reste de la construction (un rapporteur n’est jamais très précis).

• Il ne reste plus qu’à reporter AB sur le cercle de manière à obtenir les 8 sommets restants.
• Enfin on relie les différents sommets entre eux de manière à obtenir un décagone (à peu près) régulier.

Après avoir construit un pentagone régulier, il est facile de construire un décagone régulier : par bissection.

• Tracer un cercle qui passe par tous les sommets du pentagone.
• Tracer le milieu de chaque côté du pentagone.
• Tracer un segment qui joint le centre du pentagone au point milieu de chaque côté et qui touche le cercle.
• Joindre, avec des segments, toutes les paires de points voisins qui touchent au cercle.

OE est la longueur d’un côté d’un décagone régulier, et DE est le côté d’un pentagone régulier, tous deux inscrits dans le cercle.

• Tracer un cercle Γ de centre O et de diamètre [AB].
• La médiatrice de [AB] (passant donc par O et perpendiculaire à [AB]) coupe le cercle Γ en deux points. Soit D l’un de ces points.
• Tracer le milieu C de [OA].
• Le cercle de centre C et de rayon CD coupe [OB] en E (les proportions AE/OA et OA/OE sont égales au nombre d’or).
• Reporter 10 fois de suite la longueur OE sur le cercle Γ (à partir d’un point quelconque du cercle) pour obtenir les sommets d’un décagone régulier.
• Relier les différents sommets de manière à obtenir un décagone régulier.

Variante de la construction précédente

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Animation de la construction du décagone régulier

• Tracer Γ, O, A, B, C, D, E comme ci-dessus.
• Le cercle de centre C et de rayon OC coupe [CD] en F.
• Terminer comme ci-dessus en reportant 10 fois la longueur DF (égale à la longueur OE précédente).

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Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°125057 : Noms des polygones (3 à 12 côtés)

Noms des polygones (3 à 12 côtés)

Rappel :

 

 

Un polygone qui a 3 côtés est un triangle.

Un polygone qui a 4 côtés est un quadrilatère.

Un polygone qui a 5 côtés est un pentagone.

Un polygone qui a 6 côtés est un hexagone.

Un polygone qui a 7 côtés est un heptagone.

Un polygone qui a 8 côtés est un octogone.

Un polygone qui a 9 côtés est un ennéagone ou nonagone.

Un polygone qui a 10 côtés est un décagone.

Un polygone qui a 11 côtés est un hendécagone ou undécagone.

Un polygone qui a 12 côtés est un dodécagone.

 

 

 

Maintenant, à vous de trouver quel est le nom des polygones ci-dessous. ↓

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Polygone

Figuregéométrique plane limitée par dessegments. Ces segments sont les côtés dupolygone. Un polygone peut être divisé en autant de triangles qu’il a de côtés moins deux. Par exemple, un  pentagone peut être partagé en trois triangles.

Côtés congrus

Côtés qui ont la même longueur. Dans untriangle équilatéral,les trois côtés sont congrus. Dans un triangle rectangle isocèle,les deux côtés autres que l’hypoténuse sont congrus.

Sommet

Point derencontre de deux segments dans un polygone. Deux sommets qui se suivent sontdits consécutifs.

Diagonale

Segment de droite qui relie deuxsommets non consécutifs dans un polygone. Voici un tableau qui donne le nombrede diagonales d dans un polygone à n côtés ou sommets lorsque nvarie de 3 à 10 :

n

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

d

2

5

9

14

20

27

35

44

54

Un carré a deux diagonales ; un pentagone en acinq ; un hexagone en a neuf. 

Pourtrouver le nombre de diagonales dans un polygone de n côtés où nest plus grand ou égal à 3, on peut raisonner ainsi : À partir d’unsommet, on peut tracer (n – 3) diagonales. On exclut ainsi le sommet dedépart et ses deux sommets consécutifs, tous trois ne pouvant pas être l’aboutissementd’une diagonale. 

Par exemple, à partir d’un sommet d’un décagone,on peut tracer 10 – 3 = 7 diagonales. Comme il y a 10 sommets, on fait 10 ´7 = 70. Comme chaque diagonale est comptée deux fois, on divise par 2. On fait70 ¸ 2 = 35. Un décagone a 35 diagonales. 

Ongénéralise ainsi : Dans un polygone de n côtés, le nombre dediagonales est égal à n(n – 3)/2. Pour trouver le nombre dediagonales d’un heptagone, on fait : 7 ´4 ¸ 2 = 14.

Connaissant le nombre de diagonales d d’un polygoneà n côtés, le nombre de diagonales d’un polygone ayant un côté deplus est (n + d – 1). Lorsque le nombre de côtés est impair, ona successivement 3 ´ 0 = 0, 5´ 1 = 5, 7 ´2 = 14, 9 ´ 3= 27, 11 ´ 4 = 44 diagonales. Lorsque le nombre decôtés est pair, on a successivement 4 ´1/2 = 2, 6 ´ 3/2 = 9, 8 ´5/2 = 20,10 ´ 7/2 = 35, 12 ´9/2= 54 diagonales. 

Le nombre de diagonales est un nombre triangulaire diminué de1.

Les diagonales issues d’un sommet divisent ce polygone enautant de triangles qu’il a de côtés moins deux.

Angle intérieur

Angle formé par deux côtés issus dumême sommet. La somme des angles intérieurs de certains polygones est donnéedans ce tableau.

Polygone

Angles intérieurs

Triangle

180°

Carré

360°

Pentagone

540°

Hexagone

720°

Heptagone

900°

Octogone

1080°

De façon générale, la somme des angles intérieurs d’unpolygone ayant n côtés est (n – 2)180

degrés.

Angle extérieur

 

Angle formé par un côté et leprolongement du côté adjacent. La somme des mesures de l’angle intérieur d’unpolygone et celles de l’angle extérieur adjacent est égale à 180 degrés oudeux droits.

La somme des angles intérieurs et extérieurs d’unpolygone est égale au produit du nombre de côtés par deux droits ou 2ndroits. Comme la somme des angles intérieurs est (n – 2)180º, onsoustrait cette somme de 2n. La somme des angles extérieurs est égaleà quatre droits ou 360º.

Polygone convexe

Un polygone est convexe lorsqu’il n’ya pas d’angle rentrant ou de partie rentrante.Quand on relie deux points quelconques situés à l’intérieur du polygone,tous les points de la droite sont à l’intérieur du polygone. La mesure detout angle intérieur d’un polygone convexe est inférieure à 180 degrés.

Polygone concave

Un polygone est concave quand il y a aumoins un angle rentrant ou une partie rentrante. Quand on relie deux pointsquelconques situés à l’intérieur du polygone, certains points de la droitepeuvent être à l’extérieur du polygone. Un polygone concave possède aumoins un angle intérieur dont la mesure est supérieure à 180 degrés.

Appellation des polygones
On nomme un polygone en fonction dunombre de ses côtés. Les deux

tableaux suivants donnent le nom des polygones dont lenombre de côtés est égal ou inférieur à 12 :

3 côtés

4 côtés

5 côtés

6 côtés

7 côtés

triangle

quadrilatère

pentagone

hexagone

heptagone

 

8 côtés

9 côtés

10 côtés

11 côtés

12 côtés

octogone

ennéagone

décagone

hendécagone

dodécagone

Au-delàde 12 côtés, on parle généralement de polygone à ncôtés. Toutefois, pour certains de ces polygones, des appellations existent.Voici le nom des polygones de 13 à 20 côtés :

13 côtés

14 côtés

15 côtés

16 côtés

tridécagone

tétradécagone

pentadécagone

hexadécagone

 

17 côtés

18 côtés

19 côtés

20 côtés

heptadécagone

octadécagone

ennéadécagone

icosagone

Polygone régulier

Un polygone est régulier quand sescôtés sont congrus et que ses angles ont la même mesure. Un polygonerégulier est équilatéral et équiangle. Le tableau suivant donne la mesure del’angle extérieur et celle de l’angle intérieur pour certains polygonesréguliers.

Polygone régulier

Mesure de l’angle extérieur

Mesure de l’angle intérieur

Somme

Triangle équilatéral

120°

60°

180°

Carré

90°

90°

180°

Pentagone

72°

108°

180°

Hexagone

60°

120°

180°

Heptagone

51,43°

128,57°

180°

Octogone

45°

135°

180°

Décagone

36°

144°

180°

Dodécagone

30°

150°

180°

Par exemple, l’angle extérieur d’un pentagone réguliermesure 72°. Son angle intérieur est de 108°. Leur somme est de 180°.

Apothème d’un polygone régulier

Perpendiculaire abaissée du centre dupolygone sur un côté. L’apothème d’un polygone régulier est égal à lalongueur du côté multipliée par un coefficient déterminé par le nombre decôtés. Voici le coefficient pour certains polygones réguliers :

triangle

carré

pentagone

hexagone

heptagone

octogone

décagone

dodécagone

0,289

0,5

0,688

0,866

1,038

1,270

1,539

1,866

Par exemple, l’apothème d’un hexagone régulier est égal àla longueur du côté multipliée par 0,866. Dans un hexagone de 10 centimètresde côté, l’apothème est égal à : 10 × 0,866 = 8,66 centimètres.

Aire d’un polygone régulier

L’aire d’un polygone régulier estégale au produit de son demi-périmètre par la longueur de son apothème. En effet, on peutdécomposer le polygone en n triangles de même grandeur. 

L’aire d’untriangle est le demi-produit de sa base par sa hauteur, soit (b × h)/2.Le côté du polygone est la base ; l’apothème est la hauteur. Alors, l’airedu polygone est égale à (nb × h)/2, nb étant la mesuredu périmètre et h la mesure de l’apothème. Le tableau suivant donnel’aire d’un polygone régulier lorsque le côté du polygone mesure uneunité.

triangle

carré

pentagone

hexagone

heptagone

octogone

décagone

dodécagone

0,433

1

1,721

2,598

3,634

4,828

7,694

11,196

Soit un hexagone de 10 centimètres de côté, son aire estégale à : 6 × 10/2 × 8,66 = 259,8 centimètres carrés.

Polygone inscrit

Un polygone est inscrit dans un cercle quand tous ses sommets sont sur le cercle.

Polygone circonscrit
Un polygone est circonscrit à un cercle quand tous ses côtés sont tangents au cercle. Le cercle est alors inscrit dans le polygone.

Longueur du côté d’un polygone inscrit dans un cercle
La longueur du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon R est égale à R√

3

. Sa valeur rapprochée est 1,732R.

La longueur du côté d’un carré inscrit dans un cercle de rayon R est égale à R√2. Sa valeur rapprochée est 1,414R.

La longueur du côté d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est égale à R.

La longueur du côté d’un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est égale au produit de R et de la racine carrée de (2 – √2). Sa valeur rapprochée est 0,765R.

Longueur de l’apothème d’un polygone inscrit dans un cercle
La longueur de l’apothème d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon R est égale à R/2.

La longueur de l’apothème d’un carré inscrit dans un cercle de rayon R est égale à R√2/2. Sa valeur rapprochée est 0,707R.

La longueur de l’apothème d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est égale à R√3/2. Sa valeur rapprochée est 0,866R.

La longueur de l’apothème d’un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est égale au produit de R/2 et de la racine carrée de (2 – √2). Sa valeur rapprochée est 0,382R.

Polygones remarquables

Les polygones remarquables sont : 

1er letriangle, dont le triangle équilatéral, le triangle isocèle, le trianglerectangle,

2e lequadrilatère, dont le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme etle trapèze,

3e lepentagone régulier,

4e l’hexagone régulier.

© Charles-É. Jean

Index: P

Voir aussi Polygone dans le Dictionnaire de mathématiquesrécréatives.