Primitive 1/x²

La réponse est la dérivée première de la fonction .

Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .

Multipliez les exposants dans .

Retirez du dénominateur en l’élevant à la puissance .

Appliquez les règles de base des exposants.

La fonction peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée .

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Primitive, calcul en ligne

Résumé :

Le calculateur de primitives permet de calculer en ligne une primitive de fonction avec le détail et les étapes de calcul.

primitive en ligne

Description :

Calculer des primitives

Le calculateur de primitives permet de calculer les primitives des fonctions usuelles en utilisant les propriétés de l’intégration et différents mécanismes de calcul en ligne.

Le calculateur de primitives permet de :

Calculer en ligne une des primitives d’un polynôme

La fonction permet d’intégrer en ligne n’importe quel polynôme.

Par exemple, pour calculer une primitive du polynôme suivant `x^3+3x+1` il faut saisir primitive(`x^3+3x+1;x`), après calcul le résultat `(3*x^2)/2+(x^4)/4+x` est retourné.

Calculer en ligne les primitives des fonctions usuelles

La fonction primitive est en mesure de calculer en ligne toutes les primitives des fonctions usuelles : sin, cos, tan, ln, exp, sh, th, sqrt (racine carrée), et bien d’autres …

Ainsi, pour obtenir une primitive de la fonction cosinus par rapport à la variable x, il faut saisir primitive(`cos(x);x`), le résultat `sin(x)` est renvoyé après calcul.

Intégrer en ligne une somme de fonction

L’intégration est une fonction linéaire, c’est en utilisant cette propriété que la fonction permet d’obtenir le résultat demandé.

Pour le calcul en ligne des primitives d’une somme de fonction, il suffit de saisir l’expression mathématique qui contient la somme, de préciser la variable et d’appliquer la fonction .

Par exemple, pour calculer en ligne une primitive de la somme de fonctions suivantes `cos(x)+sin(x)` il faut saisir primitive(`cos(x)+sin(x);x`), après calcul le résultat `sin(x)-cos(x)` est retourné.

Intégrer en ligne une différence de fonction

Pour calculer en ligne une des primitives d’une différence de fonction, il suffit de saisir l’expression mathématique qui contient la différence, de préciser la variable et d’appliquer la fonction primitive .

Par exemple, pour calculer en ligne une primitive de la différence de fonctions suivantes `cos(x)-2x` il faut saisir primitive(`cos(x)-2x;x`), après calcul le résultat `sin(x)-x^2` est retourné.

Intégrer en ligne des fractions rationnelles

Pour trouver les primitives d’une fraction rationnelle, le calculateur va utiliser sa décomposition en éléments simples.

Par exemple, pour trouver une primitive de la fraction rationnelle suivante `(1+x+x^2)/x` : il faut saisir primitive(`(1+x+x^2)/x;x`)

Intégrer en ligne des fonctions composées

Pour calculer en ligne une des primitives d’une fonction composée de la forme u(ax+b), ou u représente une fonction usuelle, il suffit de saisir l’expression mathématique qui contient la fonction, de préciser la variable et d’appliquer la fonction primitive.

Par exemple, pour calculer en ligne une primitive de la fonction suivante `exp(2x+1)` il faut saisir primitive(`exp(2x+1);x`), après calcul le résultat `exp(2x+1)/2` est affiché.

Par exemple, pour calculer une primitive de la fonction suivante `sin(2x+1)` il faut saisir primitive(`sin(2x+1);x`), pour obtenir le résultat suivant `-cos(2*x+1)/2` .

Intégration par partie

Pour le calcul de certaines fonctions, le calculateur est en mesure d’utiliser l’intégration par partie. La formule utilisée est la suivante : Soit f et g deux fonctions continues, `int(f’g)=fg-int(fg’)`

Ainsi par exemple pour calculer une primitive de `x*sin(x)`, le calculateur utilise l’intégration par partie, pour obtenir le résultat, il faut saisir primitive(`x*sin(x);x`), après calcul, le résultat sin(x)-x*cos(x) est renvoyé avec les étapes et le détail des calculs.

Comment intégrer une fonction?

Pour intégrer une fonction, on peut utiliser les formules suivantes et appliquer les règles de calculs usuelles:

Les conventions suivantes sont utilisées dans le tableau de primitives : c représente une constante.

Les conventions suivantes sont utilisées dans le: c représente une constante.

En appliquant les formules d’intégration et en utilisant le tableau des primitives usuelles, il est possible de calculer de nombreuses primitives de fonction. Ce sont ces méthodes de calculs qu’utilise le calculateur pour trouver les primitives.

Jeux et quiz sur le calcul d’une primitive de fonction

Pour pratiquer les différentes techniques de calcul, plusieurs quiz sur le calcul d’une primitive sont proposés.

Syntaxe :

primitive(fonction;variable), où fonction designe la variable à intégrer et variable, la variable d’intégration.

Exemples :

Pour calculer une primitive de la fonction sin(x)+x par rapport à x, il faut saisir :

• primitive(`sin(x)+x;x`) ou
• primitive(`sin(x)+x`), lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité concernant la variable d’intégration.

Exemple de calcul de primitives de la forme `u’*u^n` Calculer en ligne avec primitive (calcul de primitive en ligne)

Exemple de calcul de primitives de la forme `u’*u^n`

Primitives des fonctions d’une variable

Pour beaucoup, les primitives renvoient à un casse-tête, une torture pour cerveaux déjà surmenés qui se trouvent contraints de « dériver à l’envers ». Il est vrai que, sauf à disposer d’un logiciel capable de trouver une primitive (voir plus bas les prouesses de Maxima), l’opération est un peu fastidieuse, à moins bien sûr d’aimer ce type de sport cérébral.

Attention, si vous êtes en terminale, la page d’introduction aux primitives devrait davantage être adaptée à vos attentes que le rappel qui va suivre…

 

Utilité

La primitivation est le pilier du calcul intégral. En économie, ce type de calcul est à maîtriser mais il n’est pas central… En statistiques, on sait qu’une primitive de fonction de densité est la fonction de répartition. La notion de primitive est cette fois-ci fondamentale mais, dans la mesure où l’on utlise dans l’immense majorité des situations des lois bien connues (normale, log-normale, etc.), il n’est pas indispensable de recalculer ces primitives dont les formules sont déjà présentes dans les programmes des logiciels.

Pour autant, une petite révision peut-elle se révéler néfaste ? Non. Alors par ici la visite.

La primitivation est l’opération inverse de la dérivation. Du coup, la dérivée d’une primitive (notée (F)) d’une fonction (f) est la fonction (f) elle-même. (F’(x) = f(x).)

On parle souvent d’UNE primitive car chaque fonction en possède une infinité : dans la mesure où la dérivée d’une constante est nulle, l’expression (f(x) = 2x) peut avoir pour primitive aussi bien (x^2) que (x^2 + 1,) (x^2 + 200) ou (x^2 – ln 5.) Bref, il est important de préciser dans l’expression d’une primitive quelconque (+c,) indiquant par là que l’on peut ajouter n’importe quelle constante réelle, sauf si des indications permettent de préciser la valeur de cette dernière (ou une fourchette de valeurs).

L’ensemble des primitives d’une fonction, c’est-à-dire avec toutes les constantes qu’elles peuvent admettre, est nommé l’intégrale indéfinie de cette fonction. On le note avec l’intégrateur en forme de S mais sans indiquer de bornes.

On ne cherche une primitive que dans un intervalle sur lequel la fonction est continue.

 

Primitives usuelles

Les primitives usuelles vous convient à leur grande parade (voir les ensembles de définition sur les pages consacrées à ces fonctions) :

Note : voir aussi la page de formules de dérivation…

 

Exemple

Il s’agit de déterminer une primitive de la fonction continue (f) définie comme suit :

(f: x mapsto frac{x}{x^2 + 1})

Tout l’art consiste à faire apparaître une forme connue de dérivée. En l’occurrence, si l’on pose (f(x) = frac{1}{2} times frac{2x}{x^2 + 1},) on obtient une forme (frac{1}{2}frac{u'(x)}{u(x)}) avec (u(x) = x^2 + 1.) C’est bien sûr le modèle de dérivée d’une fonction logarithme que nous avons extraite de sa gangue. Donc, (F(x) = frac{1}{2} times ln (x^2 + 1).)

Avec le logiciel gratuit Maxima, on utilise le menu « calculs » puis « intégrer » (sans cocher Intégration définie) :

 

Autre exemple

…avec une valeur donnée (ce qui permet de déterminer la constante) :

Soit une fonction (f) définie sur (]0 ,;+infty[) par (f(x) = 4x^3 + frac{1}{x^2} + 1.)

Si l’on sait, par exemple, que (F(1) = 1,) on voit bien qu’il n’y a pas de constante : (1 + 1 – 1 = 1.) Si l’on pose (F(1) = 2,) alors (F(x) = x^4 + x – frac{1}{x} + 1.)

 

 

Bonjour, il te suffit simplement d’intégrer ta fonction :

∫1/1-x^2 dx

En factorisant tu obtiens 1-x^2=(1-x)(1+x)

Cette expression est alors facilement intégrable suivant la méthode des fractions partielles ;

1/1-x^2 = a/1-x + b/1+x = [a(1+x) + b(1-x)]/1-x^2 = [(a-b)x + (a+b)]/1-x^2

Pour x=0 les solutions sont :

0 = a-b
a = b
2a = 1 alors a = 1/2
2b = 1 alors b = 1/2

∫1/1-x^2 dx = ∫(1/2)/1-x dx + ∫(1/2)/1+x dx

La dernière étape consiste donc à intégrer par substitution :

u = 1-x
du = -1dx soit -du=dx

-1/2∫1/u du = -1/2ln|u| = -1/2ln|1-x|

u = 1+x
du = 1dx soit du=dx

1/2∫1/u du = 1/2ln|u| = 1/2ln|1+x|

La primitive de ta fonction est donc bien égale à 1/2ln|1+x|-1/2ln|1-x|+c

Alors ∫1/1-x^2 dx = 1/2ln|(1+x)/(1-x)|+c