Dans cette vidéo je vais te montrer comment trouver une primitive de 1/x^n. Ici on va avoir la fonction f(x)=1/x^n. Et on veut trouver une primitive. Autrement dit, on veut trouver un F(x) qui quand on le dérive, donne 1/x^n.
Remplacer la division par un exposant négatif.
Alors il y a toujours un truc embêtant avec les uns sur les exposants c’est que moi je n’aime pas les voir comme ça. Donc il vaut mieux les voir sous la forme x^-n parce que ça c’est quelque chose qu’on ait n ou -n à l’exposant c’est la même chose.
On connaît les dérivées et de la même façon que pour les dérivées de 1/x^n, on utilisait cette forme là, on va faire pareil ici. Donc qu’est ce qu’on sait ?
Retrouver une primitive de 1/x^n via x^(-n)
On sait que (x^-n)’ ça donne quoi ? Ça donne -n x^(-n-1), ce qui ne va pas ici encore une fois ce qu’on cherche c’est de retrouver la dérivée de cette chose-là.
Donc on y est presque sauf que ici on voit qu’il ya un petit problème avec le… il y a un -1 en trop, donc on veut ici avoir quelque chose en +1. Alors là il faut faire attention c’est pas tout à fait simple…
Mais si on prend x^-(n-1) et qu’on dérive, on va bien avoir -(n-1) et ici on va voir x^(-(n-1)-1). Là il faut faire un peu attention, ici ça fait moins -n, quand on développe, +1-1. Donc là on fait bien disparaître et ça, ça fait bien -(n-1) x^-n.
Alors on n’est plus du tout loin de ce qui nous intéresse parce que il y a juste cette chose là devant ! Mais ça ici ça dépend pas de x donc c’est juste un facteur, on a multiplié par -(n-1). Et ce qui nous intéresse c’est à dire le x^-n, eh bien on l’a retrouvé ici.
Du coup, il va suffire de multiplier par l’inverse de cette chose là pour faire disparaître ce terme là, et obtenir ce qu’on veut. Donc ce qui veut dire quoi ?
Au final…
Ça veut dire que si on fait 1/-(n-1) que multiplie la forme qu’on a vu ici x^-(n-1), et qu’on dérive tout ça, ça devrait fonctionner. Ici égal 1/-(n-1) que multiplie, on a dit ce terme ici encadré en vert, donc (-(n-1)) que multiplie x^-n.
Ces deux choses là c’est la même chose donc on peut simplifier, il nous reste x^-n. On pourrait l’écrire de plein de façons ici hein, mais le moins on peut le faire passer sur le 1 par exemple, ça va faire – 1/n-1. Et ici il va nous rester 1/x^(n-1).
Quand on fait ça, on a une forme donc F(x), si on prend F(x) = -1/((n-1) x^(n-1)) c’est une primitive de 1/x^n.
Tu dois être à l’aise avec les calculs !
Alors tu vois que ça fait des calculs tout de suite qui ne sont pas très drôles, qui sont moins faciles qu’avec les dérivées…
Mais c’est normal puisque on réfléchit tout à l’envers ! Pour autant c’est que des calculs simples, des calculs de collège et sur lesquelles il faut que tu sois vraiment à l’aise.
Si tu as besoin d’être à l’aise sur ce genre de choses, je te conseille de lire la description, tu trouveras de quoi t’aider.
Constante et facteur…
Encore une fois ici c’est des primitives, donc ici on pourrait rajouter une constante et ça changerait absolument rien. À partir du moment où on met une constante en plus, eh bien c’est toujours une primitive. Donc on a un ensemble de primitives de la fonction 1/x^n.
Voilà, là ce qu’il faut que tu comprennes encore une fois c’est comment on réfléchit à l’envers ici. Dès qu’on a du 1 sur x exposant quelque chose, on passe à l’exposant négatif, c’est plus simple.
Ensuite on se rappelle ce qu’on sait sur les dérivées, on cherche à peu près, on adapte l’exposant qui va bien. Puis on travaille sur la constante qui a devant qu’on vient multiplier par l’inverse de la constante pour le faire disparaître.
Et tu vois qu’il serait très simple ici si tu avais non pas x^n mais 4 x^n, eh bien il suffirait de multiplier par 4 ce terme là et ça serait finie. Au final, tu aurais la même chose. Donc voilà comment retrouver une primitive de 1/x^n.
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Monômes
On sait que si n désigne un entier positif la dérivée de xn est nxn-1.
Il en résulte aussitôt que:
Les primitives de xn sur ℝ sont de la forme xn+1/(n+1)+K
Et en appliquant la règle de dérivation du produit par un scalaire
Les primitives de anxn sur ℝ sont de la forme anxn+1/(n+1)+K
Polynômes
Les polynômes sont des sommes de monômes, en appliquant la règle de dérivation des sommes il vient:
Les primitives de la fonction polynomiale p ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i sur ℝsont de la forme P ( x ) = ∑ i = 1 n + 1 a i − 1 i x i + K.
Ce sont donc également des fonctions polynomiales.
Puissances entières négatives
On sait que si n est un entier positif la dérivée de x-n est -nxn-1.Il en résulte que:
Si n>1 les primitives de x-n sur ℝ sont 1 1 − n x 1 − n + K
Ceci ne s’applique pas au cas n=1. Il n’existe aucune fonction rationnelle connue dont la dérivée soit égale à 1/x. Nous admettrons dans ce chapitre (nous le démontrerons dans le chapitre suivant) qu’une primitive de 1/x existe prenant la valeur 0 en x=1. Cette primitive se note ln(x) et s’appelle le logarithme népérien de x.Dans ces conditions:
Les primitives de 1/x sur ℝ+ sont de la forme ln(x)+K.
Les primitives de 1/x sur ℝ- sont de la forme ln(-x)+H.
Donc les primitives de 1/x sur ℝ sont de la forme ln|x|+K sur sur ℝ+ et ln|x|+H sur sur ℝ-
A noter que les constantes K et H ne sont pas forcément égales comme on peut le lire dans tant de formulaires.
Cela se vérifie immédiatement car, par dérivation des fonctions composées, la dérivée de ln(-x) est -(-1/x) et |x|=-x quand x<0.
Nous pouvons même étendre un peu ce résultat:
Si a désigne un réel non nul:
Les primitives de 1 ax + b sont de la forme: 1 a ln ( ∣ ax + b ∣ ) + K pour x>-b/a et 1 a ln ( ∣ ax + b ∣ ) + H pour x<-b/a
Puissances fractionnaires
Il résulte de la dérivation des exposants fractionnaires que:
Les primitives de xr sur ℝ+ sont de la forme (1/r)xr+1+K, r représentant ici un nombre rationnel différent de -1
Fonctions trigonométriques
Il résulte de la dérivation des fonctions trigonométriques que:
Les primitives de cos(x) sur ℝ sont de la forme sin(x)+K.
Les primitives de sin(x) sur ℝ sont de la forme -cos(x)+K.
Un cas très utile en pratique
Nous savons par dérivation de la fonction atan (réciproque de tangente) que:
Une primitive de 1 1 + x 2 sur ℝ est atan(x)
Cette remarque va nous permettre de déterminer les primitives des fonctions du type 1 a x 2 + bx + c où ax2+bx+c est un trinôme du second degré qui ne s’annule jamais sur ℝ.
Un tel trinôme s’écrit sous forme ‘canonique’ a ( ( x + b 2 a ) 2 + − Δ 4 a 2 ) où Δ est un nombre strictement négatif.
Donc la constante K = − Δ 4 a 2 est strictement positive.
Nous pouvons donc écrire:
1 a x 2 + bx + c = γ 1 + ( αx + β ) 2 où γ=1/aK , α=1/√K et β=b/(2a√K)
Une primitive de 1 a x 2 + bx + c sera donc (γ/α)atan(αx+β)
Encore une formule
Il résulte des formules de dérivation des fonctions réciproques que:
Une primitive de 1 1 − x 2 sur ]-1,+1[ est asin(x)
Café Python
Le module sympy permet un calcul symbolique des primitives des fonctions usuelles
Café Julia
Le package MTH229 permet de faire la même chose :
Primitive, calcul en ligne
Résumé :
Le calculateur de primitives permet de calculer en ligne une primitive de fonction avec le détail et les étapes de calcul.
primitive en ligne
Description :
Calculer des primitives
Le calculateur de primitives permet de calculer les primitives des fonctions usuelles en utilisant les propriétés de l’intégration et différents mécanismes de calcul en ligne.
Le calculateur de primitives permet de :
Calculer en ligne une des primitives d’un polynôme
La fonction permet d’intégrer en ligne n’importe quel polynôme.
Par exemple, pour calculer une primitive du polynôme suivant `x^3+3x+1` il faut saisir primitive(`x^3+3x+1;x`), après calcul le résultat `(3*x^2)/2+(x^4)/4+x` est retourné.
Calculer en ligne les primitives des fonctions usuelles
La fonction primitive est en mesure de calculer en ligne toutes les primitives des fonctions usuelles : sin, cos, tan, ln, exp, sh, th, sqrt (racine carrée), et bien d’autres …
Ainsi, pour obtenir une primitive de la fonction cosinus par rapport à la variable x, il faut saisir primitive(`cos(x);x`), le résultat `sin(x)` est renvoyé après calcul.
Intégrer en ligne une somme de fonction
L’intégration est une fonction linéaire, c’est en utilisant cette propriété que la fonction permet d’obtenir le résultat demandé.
Pour le calcul en ligne des primitives d’une somme de fonction, il suffit de saisir l’expression mathématique qui contient la somme, de préciser la variable et d’appliquer la fonction .
Par exemple, pour calculer en ligne une primitive de la somme de fonctions suivantes `cos(x)+sin(x)` il faut saisir primitive(`cos(x)+sin(x);x`), après calcul le résultat `sin(x)-cos(x)` est retourné.
Intégrer en ligne une différence de fonction
Pour calculer en ligne une des primitives d’une différence de fonction, il suffit de saisir l’expression mathématique qui contient la différence, de préciser la variable et d’appliquer la fonction primitive .
Par exemple, pour calculer en ligne une primitive de la différence de fonctions suivantes `cos(x)-2x` il faut saisir primitive(`cos(x)-2x;x`), après calcul le résultat `sin(x)-x^2` est retourné.
Intégrer en ligne des fractions rationnelles
Pour trouver les primitives d’une fraction rationnelle, le calculateur va utiliser sa décomposition en éléments simples.
Par exemple, pour trouver une primitive de la fraction rationnelle suivante `(1+x+x^2)/x` : il faut saisir primitive(`(1+x+x^2)/x;x`)
Intégrer en ligne des fonctions composées
Pour calculer en ligne une des primitives d’une fonction composée de la forme u(ax+b), ou u représente une fonction usuelle, il suffit de saisir l’expression mathématique qui contient la fonction, de préciser la variable et d’appliquer la fonction primitive.
Par exemple, pour calculer en ligne une primitive de la fonction suivante `exp(2x+1)` il faut saisir primitive(`exp(2x+1);x`), après calcul le résultat `exp(2x+1)/2` est affiché.
Par exemple, pour calculer une primitive de la fonction suivante `sin(2x+1)` il faut saisir primitive(`sin(2x+1);x`), pour obtenir le résultat suivant `-cos(2*x+1)/2` .
Intégration par partie
Pour le calcul de certaines fonctions, le calculateur est en mesure d’utiliser l’intégration par partie. La formule utilisée est la suivante : Soit f et g deux fonctions continues, `int(f’g)=fg-int(fg’)`
Ainsi par exemple pour calculer une primitive de `x*sin(x)`, le calculateur utilise l’intégration par partie, pour obtenir le résultat, il faut saisir primitive(`x*sin(x);x`), après calcul, le résultat sin(x)-x*cos(x) est renvoyé avec les étapes et le détail des calculs.
Comment intégrer une fonction?
Pour intégrer une fonction, on peut utiliser les formules suivantes et appliquer les règles de calculs usuelles:
Les conventions suivantes sont utilisées dans le tableau de primitives : c représente une constante.
Les conventions suivantes sont utilisées dans le: c représente une constante.
En appliquant les formules d’intégration et en utilisant le tableau des primitives usuelles, il est possible de calculer de nombreuses primitives de fonction. Ce sont ces méthodes de calculs qu’utilise le calculateur pour trouver les primitives.
Jeux et quiz sur le calcul d’une primitive de fonction
Pour pratiquer les différentes techniques de calcul, plusieurs quiz sur le calcul d’une primitive sont proposés.
Syntaxe :
primitive(fonction;variable), où fonction designe la variable à intégrer et variable, la variable d’intégration.
Exemples :
Pour calculer une primitive de la fonction sin(x)+x par rapport à x, il faut saisir :
- primitive(`sin(x)+x;x`) ou
- primitive(`sin(x)+x`), lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité concernant la variable d’intégration.
Exemple de calcul de primitives de la forme `u’*u^n` Calculer en ligne avec primitive (calcul de primitive en ligne)
Exemple de calcul de primitives de la forme `u’*u^n`
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