Primitive exp(u)

Exercices sur primitives avec exp

Table des matières

Quelques exercices assez simples dont l’objet est de déterminer des primitives de fonctions exponentielles : vous en rêviez, les voici. Leur niveau est celui d’une terminale générale. Bien sûr, vous pouvez aussi bien évoluer dans le supérieur et vous entraîner dessus car il n’existe aucune contre-indication à ce type d’activité.

 

Rappel

Une primitive de (f: x mapsto u'(x)e^{u(x)}) ((u(x)) étant l’expression d’une fonction et (u’(x)) étant celle de sa dérivée) s’écrit (F(x) = e^{u(x)}.)

 

Exercice

Pour chaque fonction ci-dessous, trouvez une primitive sur (mathbb{R}) (comme il est demandé UNE primitive, il ne sera pas nécessaire d’indiquer une constante).

• (f(x) = 3e^{x-4})
• (g(x) = -e^{frac{1}{3}x-5})
• (h(x) = -6e^{5x})
• (k(x) = 2xe^{x^2 + 1})
• (l(x) = 3e^{-0,2x} + 2x)
• (m(x) = 2e^{4x} + xe^{x^2})
• (n(x) = frac{e^{-x}}{(e^{-x} + 1)^2})

 

Corrigé

- (f(x) = 3e^{x-4}.) Soit (u(x) = x – 4.) Donc (u’(x) = 1.) Plus généralement, lorsqu’une fonction est de type (exp(ax + b)) et que (a = 1,) alors la dérivée et une primitive de cette fonction ont toutes deux la même expression… que la fonction elle-même.

Donc (F(x) = 3e^{x-4})

- (g(x) = -e^{frac{1}{3}x-5}.) Il est un peu moins simple de trouver une primitive de g puisqu’il faut déterminer un coefficient que multiplie l’exponentielle. Souvenez-vous alors que si l’expression d’une fonction est de type (e^{ax + b},) l’une de ses primitives s’écrit (frac{1}{a}e^{ax+b}.)

Donc (G(x) = -3 expleft({frac{1}{3}x-5}right))

- (h(x) = -6e^{5x}.) Si vous savez déterminer (G,) primitive de (g,) alors vous savez déterminer (H.)

(H(x) = -frac{6}{5}e^{5x})

- (k(x) = 2xe^{x^2 + 1}.) Avec (k,) nous avons une forme très classique de type (u’(x)e^{u(x)}) avec (u(x) = x^2 + 1) (et bien sûr (u’(x) = 2x)). Il s’ensuit que (K(x) = exp(x^2 + 1))

- (l(x) = 3e^{-0,2x} + 2x.) Elle se présente comme l’addition d’une fonction exponentielle et d’une fonction linéaire (voir primitives des fonctions usuelles). Détaillons les étapes de calcul :

(L(x) = frac{3}{-0,2}e^{-0,2x} + x^2)

(Leftrightarrow L(x) = -15e^{-0,2x} + x^2)

- (m(x) = 2e^{4x} + xe^{x^2}.) Pour (m) aussi il faut décomposer l’expression de la fonction. Le premier terme ne pose pas de difficulté si vous avez compris comment trouver les primitives de (g) et de (h.) Pour le second, sachant que l’expression dérivée de (x^2) est (2x,) l’expression de (u(x) = xe^{x^2}) a pour structure (frac{1}{2}u(x)e^{u(x)}) et c’est la dérivée de (U(x) = frac{1}{2} e^{x^2}).

(M(x) = frac{1}{2}e^{4x} + frac{1}{2}e^{x^2})

- (n(x) = frac{e^{-x}}{(e^{-x} + 1)^2}.) Remarquez que l’expression de (n(x)) s’écrit sous forme (-frac{u’(x)}{u(x)^2}.)

C’est donc la dérivée d’une fonction de type (frac{1}{u(x)}.)

(N(x) = frac{1}{e^{-x} + 1})

 

Annales (bac ES)

Extrait de l’épreuve de bac ES, Amérique du nord, mai 2012.

La fonction (f) a pour expression (f(x) = (x + 2)e^{-x}.)

Montrer que la fonction (F) définie sur l’intervalle ([-2,; 4]) par (F(x) = (-x – 3)e^{-x}) est une primitive de (f.)

Corrigé

Cette question sur une primitive cache un simple un exercice de dérivation. Puisque l’énoncé donne l’expression d’une primitive (F,) il suffit de dériver cette dernière pour constater que (F’) est bien égale à (f.) En l’occurrence, nous devons dériver un produit de fonctions.

(F(x) = u(x) × v(x)) avec (u(x) = -x – 3) et (v(x) = e^{-x})

Nous avons (u’(x) = -1) et (v’(x) = -e^{-x})

Formule : (F’(x) = u’(x)v(x) + v’(x)u(x))

(F’(x) = -e^{-x} – e^{-x}(-x – 3))

Factorisons.

(F’(x) = e^{-x}[-1 – (-x – 3)])
(Leftrightarrow F’(x) = e^{-x}(x + 2) = f(x))

(F) est bien une primitive de (f.)

 

Annales (bac S)

Extrait de l’épreuve de bac S, Nouvelle-Calédonie mars 2017.

On considère la fonction (f) définie et dérivable sur ([0, ;+∞[) par (f(x) = xe{-x}) (…)

Soit (F) la fonction définie et dérivable sur ([0, ;+∞[) par (F(x) = (-x – 1)e{-x}.)

Démontrer que la fonction (F) est une primitive de (f) sur ([0, ;+∞[.)

Corrigé

Là encore, démarche classique où il ne s’agit pas de déterminer une primitive mais de dériver.

(F) est une fonction produit à dériver. Elle s’écrit (u(x)v(x)) avec (u(x) = -x – 1) et (v(x) = e^{-x}.) Donc (u’(x) = -1) et (v’(x) = -e^{-x}.)

(F’(x) = -e^{-x} -e^{-x}(-x – 1))

Factorisons par (e^{-x}.)

(F’(x) = e^{-x}(-1 + x + 1))
(Leftrightarrow F’(x) = xe^{-x} = f(x))

(F) est bien une primitive de (f) sur ([0, ;+∞[.)

 

Exercice supplémentaire

Déterminez une primitive de la fonction (f) définie sur (mathbb{R}) par (f(x) = frac{e^x}{e^x + 3})

Corrigé

Vous devez connaître la dérivée de l’expression (ln u(x).) Ainsi une primitive de (frac{u’(x)}{u(x)}) est (ln u(x).) Notre fonction (f) se situe dans cette configuration.

Par conséquent, (F(x) = ln (e^x + 3))

 

 

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Les primitives ne sont abordées qu’en Terminale. Certaines primitives qui seront traitées dans cette page, sont hors de ce programme… Mais pas du notre !

 

Primitives story 
2.puissances.exponentielles.

 

 

Une petite introduction.
Nous savons qu’il existe deux sortes de puissances : l’entière et la réelle. Si la première repose sur des produits, l’autre fait appel au couple logarithme/exponentielle.
Mais en dépit de ces différences, ces deux types de puissances présentent les mêmes formules dérivation. En effet :

• La dérivée de  xa  est  a . xa-1.
• La dérivée de  [

  u

  (x)]a  est  a

  u’

  (x) . [

  u

  (x)]a-1.  

Bien sûr, suivant le type de puissance considérée, l’ensemble de dérivation varie ou alors il y a des conditions précises sur la fonction u.
Mais ces deux formules permettent déjà de d’établir des formules de primitives pour certains types de fonctions.

Ce qui est faisable avec les fonctions puissances l’est aussi avec les fonctions exponentielles. Nous aborderons le problème en fin de page…

 

 

Primitives de fonctions puissances.
Le théorème suivant repose sur ce qui a été rappelé dans le paragraphe précédent : les formules de dérivation de puissance qu’elle soit entière ou réelle…
Voilà l’énoncé de ce théorème.

Théorème : n est un entier naturel différent de 0 et est un réel différent de -1.

• Si

  u

  est une fonction dérivable alors 
  une primitive de  

  u’

  (x) . [

  u

  (x)]n   est    × [

  u

  (x)]n+1.
   

• Si

  u

  est une fonction strictement positive et dérivable  alors
  une primitive de  

  u’

  (x) . [

  u

  (x)]   est    × [

  u

  (x)] + 1

  .

 

Voyons comment s’applique ce théorème sur quelques exemples :

• Primitives de la puissance d’une fonction affine.
  Une primitive de  (x + 1)2  est   × (x + 1)3.
  Une primitive de  = (x + 1)½  est   × (x + 1)1,5.

  Mais pour déterminer une primitive de  (4.x – 1)2  ou de  , il faut en modifier l’écriture. Il s’agit de les mettre  la forme  u'(x) . [u(x)]a.
  Pour tout x, on peut donc écrire que :

  
  

  Ainsi donc :
  Une primitive de  (4.x – 1)2  est  × (4.x – 1)3.
  Une primitive de     est  × (4.x – 1)1,5.

  De manière générale :

  • Une primitive de  (a.x + b)n  est    × × (a.x + b)n+1.
  • Une primitive de    est    × × (a.x + b)3/2.

   

• Déterminons une primitive de  3.x × .
  A notre connaissance, aucune fonction n’a pour dérivée la fonction racine. Pour débloquer la situation, nous allons faire parler notre puissance…

  Pour tout réel x, on peut écrire que :

  3.x × = 3.x × (x2 + 1)0,5   = × 2.x × (x2 + 1)0,5  =  ×

  u’

  (x) × (

  u

  (x))0,5

  Une primitive de  3.x ×  est donc  .
     

• Déterminons une primitive de .

  Pour remplir cette mission, nous pourrions faire comme précédemment, nous appuyer sur notre théorème. En effet, nous avons que :

  = 3.x (x2 + 1)-0,5Mais nous allons essayer d’être plus naturel !

  En effet, est presque de la forme . Faisons apparaître cette dernière !

  

  Une primitive de    de est donc  3 × .

  De manière générale :

  Si u est une fonction dérivable et strictement positive  alors  une primitive
  

  Remarque : cette formule ne permet pas de déterminer des primitives de fonctions de la forme . Néanmoins, certaines d’entre elles ont une primitive. En voici-quelques unes.

  • Une primitive de    est  arcsin(x).
  • Une primitive de    est  ln( + x).
  • Une primitive de    est  ln( + x).

   

• Une primitive de ln(x)/x.
  Pour déterminer une primitive de la fonction , on peut utiliser notre théorème.
  En effet, pour tout réel strictement positif x, on a que :

  Pour déterminer une primitive de la fonction, on peut utiliser notre théorème.En effet, pour tout réel strictement positif x, on a que :

  

  Une primitive de    est donc  × [ln(x)]2.
  A voir également : une primitive de .

   

• Une primitive de cos(x).sin(x).
  Le théorème permet aussi de déterminer une primitive de cos(x).sin(x).
  En effet, pour tout réel x, on peut écrire que :

  Le théorème permet aussi de déterminer une primitive de cos(x).sin(x).En effet, pour tout réel x, on peut écrire que :

  cox(x) . sin(x) = u'(x) . u(x)

  Une primitive de  cos(x) . sin(x)  est donc   × [sin(x)]2.

On aurait pu faire sans !
Pour déterminer une primitive de (ex)2, deux cheminements sont possibles. Le premier consiste à utiliser les propriétés de l’exponentielle.
Le second consiste à écrire que :

 (ex)2 = ex . ex = u'(x) . u(x)

Une primitive de  (ex)2  est alors  × (ex)2.

 

 

Primitives de fonctions exponentielles.
Les fonctions exponentielles ne se limitent pas à exp. Il y a aussi toutes les autres : celles de la forme ax où a est un réel strictement positif.
Nous savons que la dérivée de  ax  est  ln(a) × ax.
De même, la dérivée de  au(x)  est  u'(x) × ln(a) × au(x).
A partir de ces deux formules, il est possible de mettre sur pied un théorème permettant de donner une primitive d’une fonction exponentielle. 

Théorème : a est un réel strictement positif.

• Si

  u

  est une fonction dérivable alors 
  une primitive de  

  u’

  (x) . e

  u

  (x)   est   e

  u

  (x).
   

• Si

  u

  est une fonction dérivable  alors
  une primitive de  

  u’

  (x) . a

  u

  (x)   est   × a

  u

  (x) 

  .

Voyons comment ses formules fonctionnent sur quelques exemples :

• Primitive de l’exponentielle d’une fonction affine.
  Une primitive de  ex+1  est  ex+1.
  Une primitive de  3x-2  est  × 3x-2.

  Par contre, pour déterminer une primitive de  e3.x+1, il faut modifier l’écriture de cette dernière de façon à faire apparaître u'(x) qui ici vaut 3.
  Pour tout réel x, on peut donc écrire que :

  

  Une primitive de  e3.x+1  est donc  × e3.x+1.

  De la même façon, pour intégrer  23.x+1, il faut y faire apparaître  u'(x).
  Pour tout réel x, on peut écrire que :

  

  Une primitive de  23.x+1  est donc  × × 23.x+1.

  De manière générale :

  • Une primitive de  em.x+p   est   × em.x+p.
  • Une primitive de   am.x+p   est   × × am.x+p.

   

• Quelques autres primitives.
  De manière générale, on recourt assez peu aux primitives des fonctions exponentielles. Nous allons en donner quelques-unes, histoire de faire le nombre…

  Une primitive de  x . ex²  est   × ex².

  Une primitive de  x . 2x²  est  × × ex².

  Tout cela avance à peu chose. C’est la simple application de notre théorème… 

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