De manière générale, on donne un ordre de grandeur lorsque aucune valeur exacte ne peut être donnée ou lorsque celle-ci ne présente pas grand intérêt. Ainsi, on dit que la population mondiale est de 7,3 milliards d’individus. C’est un ordre de grandeur car la valeur exacte change à chaque instant.
Ordres de grandeur et puissances de 10
Par extension, d’un point de vue scientifique, l’ordre de grandeur d’un nombre se présente le plus souvent sous la forme d’une puissance de 10. On indique la puissance de 10 la plus proche de ce nombre.
L’ordre de grandeur se déduit facilement de cette notation scientifique qui fait naturellement apparaître une puissance de 10.
Mesure d’une grandeur physique
L’utilisation des ordres de grandeur permet de faciliter la mémorisation de nombres très grands ou très petits. Connaître l’ordre de grandeur d’un résultat peut aussi permettre d’éviter de grossières erreurs de calcul. Pour choisir l’appareil le plus approprié à la mesure d’une grandeur physiquephysique déterminée, il peut être intéressant d’avoir une idée de son ordre de grandeur.
Exemples d’ordres de grandeur : l’atome…
L’ordre de grandeur de la distance Terre-Lune est 108 m, celui de la dimension d’une cellule humaine est 10-5 m et celui du rayon d’un atomeatome d’hydrogènehydrogène est 10-15 m.
Un ordre de grandeur est un nombre qui représente de façon simplifiée mais approximative la mesure d’une grandeur physique. Ce nombre, le plus souvent une puissance de 10, est utilisé notamment pour communiquer sur des valeurs très grandes ou très petites, comme le diamètre du système solaire ou la charge d’un électron.
L’ordre de grandeur se mémorise plus facilement qu’une valeur précise et suffit pour de nombreux usages. Il est également utile dans les domaines intermédiaires pour situer la taille d’un objet ou pour choisir la gamme d’appareils de mesure à lui appliquer.
Nature et utilisation
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Scientifiquement, un ordre de grandeur correspond à une fourchette de valeurs. Celle-ci est, communément, d’un dixième à dix fois la grandeur. Ainsi, un objet dont la longueur est de l’ordre de 1 m (une table) est plus grand qu’un objet dont la longueur est de l’ordre de 1 dm (un crayon) et plus petit qu’un objet dont la longueur est de l’ordre de 10 m (un camion).
Différentes échelles sont utilisées, par exemple :
- les puissances successives de 10, qui fixent une échelle courante d’ordres de grandeur dans le système métrique ;
- les puissances de 1 000, qui fixent les multiples et sous-multiples des unités (gramme, kilogramme, tonne) ;
- les puissances de 1 024 (= 210), utilisées en informatique.
L’imprécision résultant de la communication d’un ordre de grandeur n’est en général pas gênante à l’oral pour les nombres très grands ou très petits car l’esprit humain ne fonctionne pas de la même façon avec les nombres dont il a l’habitude (entre 1 et 1 000 pour fixer les idées) et pour les nombres qui sortent de beaucoup de cet intervalle.
L’ordre de grandeur d’une valeur est sa plus proche puissance de 10.
La connaissance de l’ordre de grandeur d’une valeur permet de s’assurer que le résultat d’un calcul est cohérent et ne résulte donc pas d’une erreur grossière. Par exemple l’estimation de la profondeur d’un puits qui donnerait, après calcul, 3,7 km devrait être considérée comme fausse car l’ordre de grandeur de la profondeur d’un puits est de l’ordre d’une dizaine de mètres et pas de l’ordre du kilomètre.
Dans le langage scientifique courant, on compare fréquemment deux grandeurs de même nature, et on énonce volontiers le résultat sous la forme « l’une est de deux ordres de grandeur plus grande que l’autre » ou « l’une est plus grande que l’autre de deux ordres de grandeur », c’est-à-dire environ cent fois plus grande. Ceci revient à donner l’ordre de grandeur du rapport.
L’analyse dimensionnelle, telle que pratiquée en physique (électromagnétisme, gravitation), en mécanique (des fluides, rhéologie), recourt aux estimations d’ordre de grandeurs pour opérer des simplifications dans des systèmes complexes, et permettre ainsi des résolutions asymptotiques de problème, par simplification de termes négligeables. C’est aussi fréquemment utilisé en chimie analytique. L’analyse spectrale (au sens des valeurs propres) d’un problème mathématisé (par ex. par linéarisation autour d’une quasi-solution) permet aussi de réduire sa dimensionalité en le limitant à ses ordres de grandeur propres les plus élevés.
Plus pragmatiquement, en sciences naturelles (géosciences, astrosciences, etc.), nombre de phénomènes peuvent se produire sur des échelles très étendues en termes d’ordres de grandeur. Une photo d’affleurement sans échelle connue (le fameux marteau du géologue) peut représenter quelques millimètres comme quelques centaines de mètres (ex: affleurement sédimentaire en coupe stratigraphique). Les vitesses de déplacement relatif d’unités géologiques peuvent aller du mm/Ma (plateforme tectoniquement stable) à la dizaine de km par seconde (lèvres d’une faille de part et d’autre d’un front de rupture sismique). Les granulométries des petits objets du Système solaire vont de la centaine de kilomètres à moins que le micron. Etc.
Quand une quantité augmente beaucoup, par exemple est multipliée par 100 lors d’une transformation, il est correct de dire que la quantité en question a augmenté de deux ordres de grandeur[1].
Préfixes des unités
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Les unités de base du Système international sont modifiées par des préfixes. Une unité préfixée peut ainsi indiquer un ordre de grandeur, on peut dire par exemple : « La fréquence utilisée dans la bande FM est de l’ordre de la centaine de mégahertz » (en France, cette bande s’étend de 88 à 108 MHz).
Voici les préfixes courants utilisés pour les ordres de grandeur :
- 2,543 × 103 a pour ordre de grandeur 103, car 2,543 est inférieur à 5.
- 6,7 × 103 a pour ordre de grandeur 104, car 6,7 est supérieur à 5.
- Un pied = 30 cm.
- Un pouce = 2,54 cm.
- La taille des noyaux atomiques est de l’ordre du fm.
Notes et références
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Sur les autres projets Wikimedia :
- Scale Of Universe, une animation qui permet d’observer pour chaque ordre de grandeurs des objets. Chaque élément est cliquable et possède sa propre description.
- Puissances de 10, un graphique animé illustrant les ordres de grandeurs en partant d’une vue de la Galaxie à 1023 mètres et en finissant avec des particules subatomiques à 10-16 mètres, inspiré du film Powers of Ten (1977)
- (en) Powers of Ten, le film original de Charles et Ray Eames
• Quand la recherche d’une valeur exacte est sans intérêt ou impossible, on donne un ordre de grandeur.
Exemple : la superficie de la France est de l’ordre de 550 000 km2.
• Donner un ordre de grandeur permet aussi de prévoir ou de vérifier le résultat d’un calcul.
Exemple : on doit calculer 1,9 × 3,1.
Ce produit est proche de : 2 × 3 = 6.
En effectuant, on trouve 5,89.
5,89 est effectivement proche de 6.
Autre exemple : en calculant (11 + 88) × 9, Paul a trouvé 8 191.
Il contrôle en cherchant l’ordre de grandeur du produit :
11 + 88 est proche de 10 + 90 = 100.
Le produit est proche de : 100 × 9 = 900.
Le résultat de Paul est donc faux car 8 191 n’est pas proche de 900.
Il refait le calcul et trouve 891.
Estimer un ordre de grandeur
6. Ordre de grandeur d’un nombre
Calculer un ordre de grandeur, c’est trouver une valeur « arrondie », facile à calculer pour déterminer rapidement une valeur approchée du résultat et éviter les erreurs grossières.
Il existe alors deux définitions d’un ordre de grandeur d’un nombre :
Définition 1. (du bon sens)
L’ordre de grandeur d’un nombre ou d’un résultat est égal au nombre le plus proche, arrondi à la position la plus élevée de ce nombre ou de ce résultat.
EXEMPLES
$bullet$ L’ordre de grandeur de $61,35$ est $60$.
$bullet$ L’ordre de grandeur de $66,35$ est $70$ .
$quad$ Ici, la position la plus haute est le chiffre des dizaines.
$bullet$ L’ordre de grandeur de $0,348$ est $0,3$.
$bullet$ L’ordre de grandeur de $0,352$ est $0,4$.
$quad$ Ici, la position la plus haute est le chiffre des dixièmes.
$bullet$ L’ordre de grandeur de $350$ est $400$.
$quad$ Ici, la position la plus haute est le chiffre des centaines et le chiffre suivant est un $5$. Il fait partie du deuxième groupe parmi les dix chiffres : ${0;1;2;3;4}$ et ${5;6;7;8;9}$.
Définition 2. En physique-Chimie
Pour calculer l’ordre de grandeur d’une longueur, dans une unité donnée, est égal à la puissance de $10$ la plus proche de sa valeur dans cette unité.
La suite des puissances de 10 est :
$$ldots 0,001; ; ; 0,01; ; ; 0,1 ; ; ; color{red}{boxed{; 1;}} ; ; ; 10 ; ; ; 100 ; ; ; 1000 ; ; ; ldots$$
En physique-Chimie, l’ordre de grandeur d’une longueur, est égal à la valeur la plus proche parmi ces nombres.
On appelle cette liste « une échelle logarithmique ».
EXEMPLES. En physique-Chimie
Déterminer les ordres de grandeur des deux longueurs suivantes :
1°) $N=1315,95$ m.
2°) $M=0,079times 10^{-5}$ m.
Point méthode 1.
1°) On écrit le nombre $N$ en notation scientifique sous la forme $atimes 10^n$, avec $1leqslant a<10$.
2°) puis on distingue les deux cas :
$quadbullet$ Si $1leqslant a<5$, on arrondit $a$ à $1$. Alors l’ordre de grandeur de $N$ est : $$Nsimeq 10^n.$$
$quadbullet$ Si $5leqslant a<10$, on arrondit $a$ à $10$. Alors l’ordre de grandeur de $N$ est : $$Nsimeq 10^{n+1}.$$
Corrigé de l’exercice
1°) On commence par écrire $N=1315,95$ en notation scientifique :
$N=1315,95=1,31595times 10^3$, avec $a=1,31595$.
Comme $1leqslant 1,31595<5$, on arrondit $a$ à $1$. Donc, $Nsimeq1times 10^3$.
Par conséquent :
$$color{red}{boxed{;1315,95~text{m}simeq 10^3~text{m};}}$$
Corrigé de l’exercice
On commence par écrire $N=0,079times 10^{-5}$ en notation scientifique :
$M=7,9times 10^{-2}times 10^{-5}=7,9 times 10^{-2-5}=7,9times 10^{-7}$, avec $a=7,9$.
Comme $5leqslant 7,9<10$, on arrondit $a$ à $10$. Donc, $Msimeq 10times 10^{-7}$.
Par conséquent :
$$color{red}{boxed{;0,079times 10^{-5}~text{m}simeq 10^{-6}~text{m};}}$$
6.2. Estimer un ordre de grandeur dans un calcul
Point méthode 2.
Pour estimer l’ordre de grandeur d’un résultat dans un calcul, Il suffit de remplacer chacun des termes ou des facteurs par son ordre de grandeur et effectuer un calcul mental simple.
EXEMPLES
L’ordre de grandeur de $2,85times 61,35$ est $3times 60=180$.
L’ordre de grandeur de $5,78times 0,348$ est $6times 0,3=1,8$.
L’ordre de grandeur de $365times 1365$ est $400times 1000=400,000$.
APPLICATIONS
$color{red}{Dans; la; vie courante}$, à l’échelle ordinaire, Vincent achète $27,5~$m de tissu à $21,99~$€ le mètre. Un ordre de grandeur de chacun de ces deux nombres arrondis à la position la plus élevée est :
$27,5simeq 30$ et $21,99simeq 20$. On effectue un calcul mental de l’opération : $30times 20 =600$.
Ainsi, un ordre de grandeur du prix du morceau de tissu est d’environ $600~$€.
Le calcul exact donnerait : $27,5times 21.99 = 604,725$.
$color{red}{En; Astronomie}$, à l’échelle de l’infiniment grand, l’Univers est formé de systèmes solaires, d’étoiles, de galaxies,…
Notre système solaire est composé d’une étoile, le Soleil, de huit planètes qui gravitent autour du Soleil et d’autres corps : satellites, astéroïdes, comètes,…
L’unité de mesure est la distance Terre-Soleil qui est d’environ $150,000,000~$km « cent cinquante millions de kilomètres » et qui s’écrit en notation scientifique : $d_{TS}=1,5times 10^8~$km.
La distance Terre-Lune est de $384,000~$km, qu’on note $d_{TL}=384times 10^3~$km.
L’ordre de grandeur de $d_{TL}$ est d’environ $400times 10^3=400,000~$km.
$color{red}{En; physique}$, à l’échelle de l’infiniment petit, l’Univers est composé d’atomes, qui peuvent se regrouper en molécules, puis former des chaînes,…
Un atome est lui-même composé d’un noyau et d’électrons en mouvement qui gravitent autour du noyau. Le noyau lui-même est composé d’autres particules,etc…
L’ordre de grandeur d’un rayon atomique est de « un dix milliardième de mètre », soit $10^{-10}$.
L’ordre de grandeur d’un rayon d’un noyau d’un atome est de « un millionième de milliardième de mètre », soit $10^{-15}$.
Définition.
$1~a.l.$ se lit « Une année lumière ».
$1~a.l.$ = distance parcourue par une particule qui se déplace à la vitesse (célérité) de la lumière $c=300;000~$km/s (qu’on note km.s${}^{-1}$) pendant une année.
Une année = 365,25 jours $times$ 24 heures $times$ 60 minutes $times$ 60 secondes.
Calculer d’abord un ordre de grandeur de $C$ puis la valeur exacte, qu’on peut aussi arrondir.
Exercices
EXERCICE RÉSOLU n° 1. Déterminer les ordres de grandeur des nombres suivants :
$N = 65,732$ ; $M=0,0589$ et $P=325times 10^5$.
Corrigé.
Déterminer les ordres de grandeur des nombres suivants :
a) L’ordre de grandeur de $N = 65,732$ est $70,000$. On écrit $Nsimeq 70,000$.
b) L’ordre de grandeur de $M=0,0589$ est $0,06$. On écrit : $Msimeq 0,06$.
c) L’ordre de grandeur de $P=325times 10^5$ est $300times 10^5=30,000,000$ ou encore : $Psimeq 3times 10^5$.
EXERCICE RÉSOLU n°2. Déterminer les ordres de grandeur des résultats des calculs suivants :
$A=64,5+38,89$ ; $B= 69,5times38,89+458,56$ et $C=1 a.l.$ (Une année-lumière).
Corrigé.
Calcul des ordres de grandeur des résultats de calcul :
a) $A=64,5+38,89simeq 60+40 = 100$. Ainsi un ordre de grandeur de $A$ est égal à $100$.
b) $B= 69,5times38,89+458,56$
$quad B simeq 70times 40 + 500$
$quad Bsimeq 2800+500=3300$.
Ainsi un ordre de grandeur de $B$ est égal à $3300$.
c) $C=1 a.l.$= distance parcourue par une particule qui se déplace à la vitesse (célérité) de la lumière $c=300,000~$km/s (qu’on note km.s${}^{-1}$) pendant une année.
$quad C = 365,25times 24 times 60 times 60 times 300,000$
$quad Csimeq 400times 20 times 60 times 60 times 300,000$
$quad Csimeq 4times 2 times 6 times 6 times 3times 10,000,000,000$
$quad C simeq 48times 18times 10,000,000,000$, en regroupant les trois premiers facteurs puis les 2 suivants.
$quad C simeq 50times 20times 10,000,000,000$
$quad C simeq 1000times 10,000,000,000$
Par conséquent : $C simeq 10,000,000,000,000$, qu’on peut écrire en notation scientifique $color{red}{boxed{;1, a.l.simeq 1times 10^{13};}}$
Remarque
A la calculatrice, on obtient la valeur exacte à quelques décimales près : $color{red}{boxed{; 1, a.l. = 9,46728…times 10^{12};text{km};}}$.
En prenant un ordre de grandeur de $9,46728…simeq 10$, on obtient bien : $$1, a.l.simeq 1times 10^{13};text{km}$$
Liens connexes
https://www.youtube.com/watch?v=
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