Qu'est-ce qu'une fraction irréductible

Une fraction irréductible est une fraction pour laquelle il n’existe pas de fraction égale ayant des termes plus petits. Autrement dit, une fraction irréductible ne peut pas être simplifiée.

Table des matières

La fraction 12 20 {displaystyle {frac {12}{20}}} ${displaystyle {frac {12}{20}}}$ n’est pas irréductible car 12 et 20 sont des multiples de 4 : 12 20 = 3 × 4 5 × 4 = 3 5 {displaystyle {frac {12}{20}}={frac {3times 4}{5times 4}}={frac {3}{5}}} ${displaystyle {frac {12}{20}}={frac {3times 4}{5times 4}}={frac {3}{5}}}$ (simplification par 4). On peut aussi écrire 12 20 = 12 : 4 20 : 4 = 3 5 {displaystyle {frac {12}{20}}={frac {12:4}{20:4}}={frac {3}{5}}} ${displaystyle {frac {12}{20}}={frac {12:4}{20:4}}={frac {3}{5}}}$ .

La fraction 3 5 {displaystyle {frac {3}{5}}} ${displaystyle {frac {3}{5}}}$ est irréductible car 1 est le seul entier positif qui divise à la fois 3 et 5.

Méthodes pour simplifier une fraction

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Utilisation des critères de divisibilité

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On peut simplifier une fraction en divisant ses termes successivement par leurs diviseurs communs apparents (que l’on trouve en appliquant les critères de divisibilité par 2, 3, 5, etc.).

Exemple

${displaystyle {frac {42}{390}}={frac {42:2}{390:2}}={frac {21}{195}}={frac {21:3}{195:3}}={frac {7}{65}}}$ Les nombres 42 et 390 sont pairs, on peut les diviser par 2.La somme des chiffres du nombre 195 est un multiple de 3 (1 + 9 + 5 = 15). Donc 195 est un multiple de 3. Et 21 l’est aussi. On peut donc diviser ces deux nombres par 3.La dernière fraction obtenue est irréductible car 1 est le seul entier positif qui divise à la fois 7 et 65.

Simplification par le PGCD

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Pour réduire directement une fraction, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. D’après le lemme de Gauss, cette forme réduite est unique.

ExemplePour réduire la fraction

READ La grammaire par les exercices

${displaystyle {frac {42}{390}}}$

${displaystyle operatorname {PGCD} (42,390)=6}$

${displaystyle {frac {42}{390}}={frac {6times 7}{6times 65}}={frac {7}{65}}}$

Soient a {displaystyle a} $a$ un entier et b {displaystyle b} $b$ un entier naturel non nul. Alors a b {displaystyle {frac {a}{b}}} ${displaystyle {frac {a}{b}}}$ est irréductible si et seulement si a {displaystyle a} $a$ et b {displaystyle b} $b$ sont premiers entre eux.

(en) Eric W. Weisstein, « Irreducible Fraction », sur MathWorld

Définition

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun (autre que 1).
Pour rendre irréductible une fraction, on simplifie le numérateur et le dénominateur par leur(s) diviseur(s) commun(s). Pour cela, on peut utiliser la décomposition en produits de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

Exemples

Exemple 1

Rendre irréductible la fraction $frac{68}{51}$ .
On décompose 68 et 51 en produits de facteurs premiers.
68 = 2 × 34 = 2 × 2 × 17 = 22 × 17 et 51 = 3 × 17.
On a donc $frac{68}{51}=frac{2^2times 17}{3times 17} =frac{4}{3}$ , qui est une fraction irréductible.

On décompose 68 et 51 en produits de facteurs premiers.68 = 2 × 34 = 2 × 2 × 17 = 2× 17 et 51 = 3 × 17.On a donc, qui est une fraction irréductible.

Exemple 2

La fraction $frac{67}{15}$ est-elle irréductible ?
15 = 3 × 5 et on remarque que 67 n’est divisible ni par 3, ni par 5.
Les nombres 15 et 67 n’ont donc aucun diviseur commun autre que 1, donc la fraction $frac{67}{15}$ est irréductible.

15 = 3 × 5 et on remarque que 67 n’est divisible ni par 3, ni par 5.Les nombres 15 et 67 n’ont donc aucun diviseur commun autre que 1, donc la fractionest irréductible.

Exemple 3

La fraction $frac{216}{126}$ est-elle irréductible ? Si ce n’est pas le cas, la rendre irréductible en détaillant les calculs.
216 et 126 sont divisibles par 2 donc la fraction n’est pas irréductible.
On décompose 216 et 126 en produits de facteurs premiers.
216 = 2 × 108 = 2 × 2 × 54 = 2 × 2 × 2 × 27 = 2 × 2 × 2 × 3 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 23 × 33.
126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 32 × 7.
On a donc $frac{216}{126}=frac{2^3 times 3^3}{2times 3^2 times 7}=frac{2times 3^2 times 2^2 times 3}{2times 3^2 times 7}=frac{2^2 times 3}{7}=frac{12}{7}$ qui est une fraction irréductible.

216 et 126 sont divisibles par 2 donc la fraction n’est pas irréductible.On décompose 216 et 126 en produits de facteurs premiers.216 = 2 × 108 = 2 × 2 × 54 = 2 × 2 × 2 × 27 = 2 × 2 × 2 × 3 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2× 3126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 3× 7.On a doncqui est une fraction irréductible.

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Cours maths 3ème

Fractions irréductibles

L’objectif de ce cours est de définir deux nombres premiers entre eux, une fraction irréductible et d’utiliser la notion de PGCD et les algorithmes de recherche du PGCD de deux nombres pour manipuler les notions ci-dessus.

Plus grand diviseur commun

Définition :

Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d’eux.

Exemple :

36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.

Exemples :

7 est un diviseur de 91 car 91 = 7 × 13.
De même, 13 est un diviseur de 91.

Définition :

Si a et b désignent deux nombres entiers, on note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs positifs à a et b.

Définition :

Si a et b désignent deux nombres entiers, on note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs positifs à a et b.

Exemple : Rechercher le PGCD de 24 et 36

La liste des diviseurs de 24 est :

La liste des diviseurs de 36 est :

24 et 36 ont 6 diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12

Le plus grand d’entre eux est 12 donc PGCD (24 ; 36) = 12

Problème

Quel est le PGCD de 1 326 et 546 ?

Méthode : on cherche tous les diviseurs de 1 326 puis tous les diviseurs de 546 et ainsi nous pourrons déterminer le plus grand diviseur commun.

Problème : la recherche de TOUS les diviseurs d’un nombre entier est souvent longue et fastidieuse.

Solution : nous allons voir des algorithmes de recherche qui nous permettront un travail plus rapide.

Algorithme des différences

Exemple : Déterminer PGCD (1 326 ; 546).

1) Soustraire le plus petit des deux nombres au plus grand :

2) On prend les deux plus petits et on recommence :

3) On continue jusqu’à obtenir un résultat nul :

Le plus grand diviseur est le dernier reste non nul dans la succession des différences de l’algorithme

Ici, PGCD ( 1 326 ; 546) = 78

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Algorithme d’Euclide : méthode

● 1) On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.

● 2) On effectue la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusqu’à ce que le reste de la division soit égal à zéro.

● 3) Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes.

Algorithme d’Euclide : exemple

Exemple : Déterminer PGCD (1 326 ; 546).

Le dernier reste non nul est 78

Remarque : On peut schématiser l’algorithme ainsi :

1 326 = 2 × 546 + 234

546 = 2 x 234 + 78

234 = 3 x 78 + 0

Nombres premiers entre eux : définition

Définition :

Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.

Exemple 1 : 12 et 35 sont-ils premiers entre eux ?

Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.
Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 et 35.
Le seul diviseur commun à 12 et 35 est 1
Donc 12 et 35 sont premiers entre eux.

Exemple 2 : 405 et 637 sont-ils premiers entre eux ?

La recherche des diviseurs va être longue et fastidieuse.

Nombres premiers entre eux : exemple*

Si le PGCD de deux nombres est égal à 1, alors les deux nombres sont premiers entre eux.

Exemple 2 : 405 et 637 sont-ils premiers entre eux ?

PGCD ( 405 ; 634) = 1 donc 405 et 634 sont premiers entre eux.

Fractions irréductibles – définition

Définition :

Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible.
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemple 1 :

12 et 35 sont deux nombres premiers entre eux.

Donc et sont irréductibles.