Cours racines carrées : calculer et simplifier une racine carrée
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne du Tage Mage
Connaitre les règles de calcul sur les racines carrées est essentiel pour résoudre des calculs à tout niveau. Ainsi que vous prépariez le Tage Mage ou que vous prépariez le brevet, ce cours sur les racines carrées avec des applications à la géométrie vous sera utile.
1. Définition d’une racine carrée
Qu’est-ce qu’une racine carrée ?
Réponse avec un exemple : 
est le nombre, qui, mis au carré vaut 7.
Autrement dit : « Qui au carré vaut 7 ? » ou encore « Qui, fois lui même donne 7 ? »
Certaines racines sont connues, celles des carrés parfaits :
- racine carrée de 0 =
= 0 - racine carrée de 1 =
= 1 - racine carrée de 4 =
= 2 - racine carrée de 9 =
= 3 - racine carrée de 16 =
= 4 - racine carrée de 25 =
= 5 - racine carrée de 36 =
= 6 - racine carrée de 49 =
= 7 - racine carrée de 64 =
= 8 - racine carrée de 81 =
= 9 - racine carrée de 100 =
= 10 - racine carrée de 121 =
= 11 - racine carrée de 144 =
= 12 - racine carrée de 169 =
= 13 - racine carrée de 400 =
= 20
Il faut également connaitre certaines valeurs approchées :
- racine carrée de 2 =
= 1,4 - racine carrée de 3 =
= 1,7 - racine carrée de 5 =
= 2,2
Attention : Dans les énoncés, les racines carrées sont fréquemment écrites à l’aide d’une puissance : = 
et donc par exemple 
= = 5
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2. Les formules des racines carrées
x = 
= a
= | a |
= x 
= 
- =
Une propriété liée aux puissances est à retenir :
= 
donc 
= 
x 
= 25 x 2 = 50
Exemple type :
Calculer 
Réponse :
On utilise l’identité remarquable suivante : 
= -2ab +
Ici a=
et b=
ce qui donne :
= 
-2 x x + 
= 4 x 3 – 
+ 9 x 2
= 12 – + 18
= 30 –
3. Utilisation des racines carrées avec la géométrie
Les racines carrées font leur apparition avec notamment le théorème de Pythagore, les énoncés évoquant un carré et sa diagonale ou encore le triangle équilatéral.
A. Utilisation des racines carrées avec le carré
La diagonale d’un carré de coté a vaut 
Application :
La diagonale d’un carré vaut 7 cm, combien vaut son aire ?
Réponse :
On connaît la diagonale, il nous faut retrouver le côté avant de calculer l’aire (côté2)
Si on appelle 
le côté du carré, on résout l’équation : = 7
Donc a = 
On en déduit l’aire qui vaut a2. Donc Aire = 
= 
= 
= 24,5 cm
B. Utilisation des racines carrées avec le triangle équilatéral
La hauteur d’un triangle équilatéral de coté a vaut : 
Application :
Un triangle équilatéral a pour hauteur 5 cm, calculer le périmètre du triangle.
Réponse :
Le périmètre d’un triangle équilatéral vaut 3 x côté, il nous faut donc trouver le côté.
On appelle a la longueur du côté et on résout l’équation :
= 5
Soit, a = 5 x 
= 
.
Et donc le périmètre vaut P = 3 x = 
cm
Pour les besoins d’une question, il faut savoir simplifier cette expression obtenue. On va multiplier numérateur et dénominateur par
= 
= 
= 10
À retenir : La grande diagonale d’un cube de coté a vaut a
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C. Utilisation des racines carrées avec le théorème de pythagore
EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 3 cm et FG = 6. Combien mesure le coté [EG] ?
A) 2×21/2 cm
B) 3 cm
C) 3×21/2 cm
D) 9×21/2 cm
E) 6 cm
Correction :
Le triangle est rectangle, on peut donc utiliser le théorème de Pythagore :
EF2 + EG2 = FG2
On remplace : +
= 
9 x 2 + = 36 x 5
= 180 – 18 = 162
EG = 
= 
= x = 
= 9×21/2 cm. Réponse D.
Voici quelques autres notions et chapitres de maths qu’il faut absolument connaître pour réussir au sous-test 2 du Tage Mage :
The lack of money is the root of all evil.
Money is the root of all evil.
Poverty is the root of all evil.
Two is the fourth root of sixteen.
Two is the fourth root of sixteen.
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