Le rayon de la Terre ( R ⊕ {displaystyle R_{oplus }} 
La Terre n’est pas parfaitement sphérique et les distances entre sa surface et son centre varient de 6 352,8 km (fond de l’océan Arctique) à 6 384,415 km (sommet du Chimborazo)[1]. Le rayon équatorial est de 6 378,137 0 km, alors que le rayon polaire est de 6 356,752 3 km, ce qui mène à un modèle ellipsoïde de sphère aplatie aux pôles.
Les méthodes de calcul du rayon de la Terre par Al-Biruni (973–1048) ont augmenté la précision de la mesure.
L’évaluation du rayon de la Terre remonte au Grec Ératosthène (v. 276-v. 194 av. J.-C.), qui l’aurait déterminé avec une précision de 2 à 15 %. Avec une méthode différente, le Persan Al-Biruni (973-v. 1050) estime ce rayon à 6 339,6 km, une valeur très proche des données modernes. Ce résultat est connu (et utilisé) en Europe au xvie siècle[2],[3].
Sous le règne de Louis XVI, une expédition de La Condamine au Pérou a pour but d’améliorer la mesure du rayon de la Terre, afin de fonder le système métrique sur la circonférence terrestre (contrairement aux anciens systèmes de poids et mesures). Un collègue contemporain aura plus de succès sur ses mesures, sur d’autres continents.[Quoi ?]
Rayon en fonction de la latitude
Selon l’Union géodésique et géophysique internationale (UGGI), le rayon moyen R m {displaystyle R_{mathrm {m} }} 
R m = 2 a + b 3 {displaystyle R_{mathrm {m} }={frac {2a+b}{3}}}
Pour la Terre, cela donne une valeur de 6 371,009 km[5].
Notes et références
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Contexte historique
Comment les Anciens sont-ils parvenus à calculer le diamètre de la Terre ?
De la terre plate à la terre sphérique
Au VIème siècle avant J.C., si on pensait que la Terre était plate, on l’imaginait « ronde » comme un disque. Cela suffisait à expliquer les éclipses. La géométrie, discipline dominante chez les Grecs, est en plein essor au VIème siècle. A cette époque, Pythagore fonde son école, dont la pensée est que les secrets de la nature sont dans ceux des nombres.
Anaxagore, un précurseur du philosophe Socrate, au Vèmesiècle, ne voyait plus le Soleil et la Lune comme des divinités, mais plutôt comme des boules incandescentes dans le ciel. Il faillit être mis à mort pour impiété. Les observations dont Eratosthène allaient se servir sur les ombres au solstice d’été à Syène et Alexandrie étaient connues, mais on ne pouvait pas les exploiter correctement car on imaginait encore la Terre plate.
Puis, peu à peu l’idée de la sphéricité de la Terre s’imposa, jusqu’à être totalement acceptée au IVème siècle. Pour Platon, la sphéricité de la Terre ne faisait aucun doute car la sphère est la figure parfaite par excellence. C’est là un argument dont l’origine est une idée et non pas un fait observable. Aristote, disciple de Platon, n’acceptait que des conclusions qui reposent sur l’expérience ou le sens commun. Il décrit donc un ensemble d’observations, comme le fait qu’onn’observe pas les mêmes étoiles selon qu’on est au nord ou au sud. C’est donc à Aristote que revient le mérite d’avoir rédigé la preuve que la Terre est ronde (dans le Traité du Ciel, voir annexe).
Alexandrie, ville d’Egypte, fut fondée par Alexandre le Grand. Au IIIème siècle, on y construisit la Grande Bibliothèque qui rassemblait tout ce qu’on connaissait à l’époque. La ville supplanta Athènes comme centre intellectuel du monde antique.
Eratosthène
Eratosthène est un écrivain de langue grecque, né vers 276 av. J.C. à Cyrène à l’Ouest d’Alexandrie où il passa la fin de sa vie comme directeur de la Bibliothèque. Il est connu comme astronome, géographe, philosophe et mathématicien. Il s’est rendu célèbre pour sa mesure de la circonférence de la Terre. Si d’autres avant lui avaient proposé des chiffres, il est le premier dont on connaisse sa méthode.
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Domaine public 
Figure 1. Eratosthène (né vers 276, mort vers 194 av. J.C.)
On peut aussi aussi citer, en mathématique, le crible d’Eratosthène, qui est une méthode pour déterminer les nombres premiers par exclusion. On dit que, devenu aveugle avec l’âge et les études, Eratosthène se laissa mourir de faim car il ne pouvait plus contempler le ciel.
Au siècle suivant, Alexandrie a produit un autre astronome et géographe célèbre : il s’agit de Claude Ptolémée, dont l’œuvre majeure, l’Almageste, nous est parvenue par les Arabes. Il y a fait la synthèse des connaissances de l’Antiquité en astronomie, selon lesquelles on a décrit le mouvement des planètes jusqu’à la révolution copernicienne (XVIème siècle).
C’est vers 250 avant J.C. que s’effectuèrent les premières tentatives de la mesure du diamètre de la Terre. Eratosthène, raisonna ainsi : Syène (actuellement Assouan) était une ville dont la latitude se situait à 23,5 degrés Nord, c’est-à-dire sur le Tropique du Cancer. Les Anciens savaient que, entre les lignes des Tropiques, le Soleil passe au zénith au moins une fois par an. Pour le Tropique du Cancer, la date est unique et tombe le jour du solstice d’été, jour où le soleil est au plus haut dans le ciel. A Syène, et à tout endroit ayant une latitude Nord de 23,5 degrés (Tropique du Cancer), le jour du solstice d’été à midi solaire, le Soleil est au zénith ; on peut voir sa lumière au fond d’un puits creusé verticalement. Mais à la même date et à la même heure, dans la ville d’Alexandrie située plus au Nord (31 degrés de latitude Nord), on constate que les rayons du soleil n’atteignaient pas le fond des puits. Ils faisaient un angle de 7,5 degrés par rapport à la verticale.
D’autre part, Eratosthène connaissait la distance entre Syène et Alexandrie : en effet, pour aller de Syène à Alexandrie, il fallait 50 jours à une caravane de chameaux qui parcourait une distance quotidienne de 100 stades ; le stade était l’unité de longueur et valait environ 160 m. Connaissant la distance entre ces deux villes, on arriva au raisonnement suivant : les rayons du Soleil arrivent tous sur la Terre parallèles entre eux. Si la Terre était plate, les rayons arriveraient aussi bien àla verticale d’Alexandrie qu’à la verticale de Syène. Or, on constate une différence de 7,5 degrés.
Copyright : 2013 Charles-Henri Eyraud
Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution – Pas d’Utilisation Commerciale – Pas de Modification 4.0 International. 
Figure 2. Eclairement de la Terre lors du solstice d’été
Des calculs d’Anaxagore à ceux Eratosthène
C’est donc au IIIème siècle, à Alexandrie, devenue le centre intellectuel du monde connu, en Egypte où l’on avait observé l’effet du solstice d’été sur les ombres, que toutes les conditions étaient réunies pour la mesure de la circonférence de la Terre.
Le schéma gauche de la figure ci-dessous représente les ombres dans la première hypothèse, la Terre plate comme un disque. Le Nord est donc vers la gauche de cette figure.
Le schéma droit de la figure ci-dessous représente les ombres dans la deuxième hypothèse, celle de la Terre sphérique. Le Nord est vers le haut de la sphère.
Copyright : 2013 Charles-Henri Eyraud
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Figure 3. Schémas d’après les hypothèses d’Anaxagore (à gauche) et d’Eratosthène (à droite)
Anaxagore et Eratosthène partent des mêmes observations :
- absence d’ombre à Syène,
- mesure de l’ombre de l’obélisque à Alexandrie et donc de l’inclinaison des rayons solaires à Alexandrie,
- distance entre Alexandrie et Syène connue ;
Leurs hypothèses sont différentes (Terre plate ou sphérique), et leurs raisonnements géométriques les conduisirent à des conclusions cohérentes, mais différentes.
Les voici résumées dans un extrait d’après Une étoile nommée Soleil , de G. Gamow :
« Anaxagore prétendit que le Soleil flottait à environ 6500 km de la surface de la Terre. Son raisonnement était assez logique. Des voyageurs revenant de la ville de Syène lui avaient appris que le jour du solstice d’été, à midi, le Soleil se trouve au zénith. Il savait d’autre part qu’à Alexandrie, 5000 stades (1 stade ≈ 160 m) au nord de Syène, le Soleil, ce même jour à midi, était à peu près à sept degrés du zénith. Croyant la Terre plane, il traça une figure, d’où il conclut que la hauteur du Soleil au-dessus de la Terre était égale à 6500 km. »
« Le calcul mathématique d’Anaxagore était correct, mais ses prémisses étaient fausses (la Terre n’est pas plane !). Deux siècles plus tard, son raisonnement fut repris par Eratosthène, pour qui la différence des positions du Soleil au solstice à Alexandrie et à Syène était imputable, non à la distance de celui-ci à la Terre, mais à la courbure de celle-là. Il supposa que le Soleil était assez éloigné pour que ses rayons frappent la surface terrestre en faisceaux parallèles ; il put alors conclure, à l’aide d’un schéma, que la Terre était une sphère de rayon voisin de 6500 km. »
Copyright : 2013 Véronique Thévenot
Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution – Pas d’Utilisation Commerciale – Pas de Modification 4.0 International.
Figure 4. Poster réalisé par les élèves sur la méthode d’Eratosthène
I/ Objectifs
● Schématiser clairement une situation décrite en français.
● Utiliser
des données pour répondre à un problème concret.
● Réfléchir.
● Appliquer la technique d’Eratosthène à la mesure du diamètre d’un ballon.
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II/ Mesure historique du rayon de la Terre. Vers
l’an 200 avant Jésus- Christ, des voyageurs dirent à Eratosthène, géomètre de l’école d’Alexandrie, que le premier jour de l’été, à Syène ( Prés de l’actuel Assouan, en haute Égypte ), rayons du soleil à midi étaient verticaux : Ils pouvaient éclairer le fond d’un puits. Or ce même jour, le soleil n’était as au Zénith à Alexandrie puisqu’un piquet de 1m de haut, planté verticalement avait une ombre de 12,3 cm.
Eratosthène savait également que les caravanes des chameaux partant de Syène, en parcourant 100 stades par jour ( le stade équivaut à 160m ), mettaient 50 jours pour arriver à Alexandrie ( Ville située au nord de Syène ).
Enfin, il supposa que le soleil était assez éloigné pour que ses rayons lumineux frappent la surface terrestre en faisceaux parallèles.
A partir de toutes ces informations, Eratosthène réussit à déterminer la valeur du rayon de la Terre.
A votre tour, retrouvez la valeur du rayon de la Terre en utilisant les informations dont disposait Eratosthène. ( Faites un schéma pour vous aider à raisonner ).
AC= 12,3 cm.
D’après les angles alternes-internes, on sait que ABC et AOD sont égaux.
Calculons ABC.
Dans le triangle ABC rectangle en A.
→ Nous avons donc la circonférence de la Terre.
Calculons r :
P = П x 2r ≈ 41071,5.
P = 2r ≈ 13073,5.
P = r ≈ 6536,7 Km.
Le rayon de la Terre vaut environ 6500 Km.
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