Sin(a+b)

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Nous allons montrer que pour tout élément a, b réels la formule trigonométrique sin(a-b)=sin a cos b – sin b cos a

Considérons la démonstration de sin(a+b)=sin a cos b +sin b cos a comme acquise.

On a alors :

$$forall x,y in mathbb{R}, quad sin(x+y)=sin x cos y+sin y cos x$$

En particulier, en opérant le changement de variable $x=a$, et $y=-b$

$$sin(x+y)=sin (a-b)=sin a cos (-b)+sin (-b) cos a$$

Or la fonction cosinus est paire :

$$cos (-b)=cos b$$

et la fonction sinus est impaire :

$$sin (-b)=-sin b$$

d’où :

$$sin (a-b)=sin a cos b – sin b cos a$$

On conclut :

$$forall a,b in mathbb{R},sin(a-b)=sin a cos b – sin b cos a$$

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Nous allons montrer que pour tout élément a, b réels la formule trigonométrique sin (a+b)=sin a cos b + cos a sin b

Preuve/Démonstration

Soit $(O ; vec{i}, vec{j})$ un repère orthonormé, $a$ et $b$ deux réels définis comme suit :

$$ begin{aligned} a&=(vec{i}, overrightarrow{O A}) \ b&=(overrightarrow{O A}, overrightarrow{O B}) end{aligned} $$

où $A$ et $B$ sont les points définis sur le cercle trigonométrique relativement aux angles $a$ et $b$.

On a alors :

$$ a+frac{pi}{2}=left(vec{i}, overrightarrow{O A^{prime}}right) $$

où $A^{prime}$ est le point défini sur le cercle trigonométrique relativement à l’angle $displaystyle a+frac{pi}{2}$ avec $left(overrightarrow{O A}, overrightarrow{O A^{prime}}right)=displaystylefrac{pi}{2}$.

Par définition, $overrightarrow{O A}$ est définir par :

$$ overrightarrow{O A}=cos a times vec{i} + sin a times vec{j} $$

$overrightarrow{O A^{prime}}$ est définir par :

$$ overrightarrow{O A^{prime}}=cos left(a+frac{pi}{2}right) timesvec{i}+sin left(a+frac{pi}{2}right) timesvec{j} = -sin a times vec{i} + cos a times vec{j} $$

$overrightarrow{O B}$ est définir par :

$$ overrightarrow{O B}=cos (a+b) timesvec{i}+sin (a+b) times vec{j} $$

Considérons le repère orthonormé $left(O ; overrightarrow{O A}, overrightarrow{O A^{prime}}right)$. Le vecteur $overrightarrow{O B}$ dans ce repère est définir par :

$$ begin{aligned} overrightarrow{O B} &=cos b times overrightarrow{O A} + sin b times overrightarrow{O A^{prime}} \ &=cos b times (cos a times vec{i} + sin a timesvec{j}) + sin b times (-sin a timesvec{i} + cos a timesvec{j}) \ &=(cos a times cos b-sin a times sin b) times vec{i}+(sin a times cos b+cos a times sin b) timesvec{j} end{aligned} $$

Mais nous avons montré que

$$ overrightarrow{O B}=cos (a+b) timesvec{i}+sin (a+b) timesvec{j} $$

On obtient alors par identification :

$$ begin{aligned} cos (a+b)&=cos a times cos b-sin a times sin b \ sin (a+b)&=sin a times cos b+cos a times sin b end{aligned} $$

On a alors démontré :

$$forall a,b in mathbb{R}, quad sin (a+b)=sin a cos b + cos a sin b$$