Situation de proportionnalité graphique

Cours maths 4ème

Proportionnalité – tableaux et graphiques

Ce cours a pour objectif de faire travailler l’élève sur des situations de proportionnalité et de non proportionnalité en utilisant la caractérisation de la proportionnalité par l’alignement des points avec l’origine dans un repère.

 

Introduction aux tableaux et graphiques en proportionnalité

Que peut-on dire des quotients suivants ?

Ces quotients sont tous égaux, ils expriment la même proportion.

Les suites de nombres ( 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; … ) et ( 5 ; 7,5 ; 10 ; 12,5 ; 15 ; 17,5 ; 20 ; … ) sont liées par les relations suivantes :

Ces deux suites de nombres sont proportionnelles, il existe un nombre : 0,4 appelé coefficient de proportionnalité tel que chaque nombre de la première suite est le produit du nombre correspondant de la deuxième suite par ce coefficient.

 

Tableaux de proportionnalité

Nous pouvons reprendre l’exemple précédent en plaçant les suites de nombres dans un tableau de proportionnalité :

Petit rappel:

Un tableau traduit une situation de proportionnalité lorsque l’on obtient les nombres de la première ligne en multipliant les nombres correspondants de la deuxième ligne par un même nombre.
(Dans cet exemple ce nombre est 0,4 car 2/5 = 0,4 ; 3/7,5 = 0,4 ; 4/10 = 0,4 ; …)

Un tableau traduit une situation de proportionnalité lorsque l’on obtient les nombres de la deuxième ligne en multipliant les nombres correspondants de la première ligne par un même nombre.
(Dans cet exemple ce nombre est 2,5 car 5/2 = 2,5 ; 7,5/3 = 2,5 ; 10/4 = 2,5 ; …).

 

Proportionnalité et graphiques

Toujours avec l’exemple précédent, dans un repère du plan, plaçons les points qui ont pour abscisse un nombre de la première suite et pour ordonnée le nombre correspondant de la deuxième suite.

 

 
 
On remarque que tous ces points sont alignés sur une droite qui passe par O l’origine du repère.
 
 
 
Propriétés  :
 
 
Si les points sont alignés avec l’origine du repère, alors la représentation graphique correspond à une situation de proportionnalité.
 
Si on représente une situation de proportionnalité,  alors les points sont alignés avec l’origine du repère.
 

 

 

 

 

Introduction :

L’objectif de ce cours est d’étudier les fonctions linéaires et de faire le lien avec la proportionnalité.

Pour cela, nous commencerons par un rappel sur la proportionnalité. Nous introduirons ensuite les fonctions linéaires et mettrons en évidence la relation entre les deux notions. Nous terminerons par une rapide application aux pourcentages.

Rappels sur la proportionnalité

Situations de proportionnalité

Définition

Situation de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité. On dit alors qu’il y a situation de proportionnalité.

Exemple

Le montant que l’on paye à une station essence est proportionnel au nombre de litres que nous mettons dans notre réservoir. C’est une situation de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est le prix d’un litre d’essence.

Tableau de proportionnalité

Définition

Tableau de proportionnalité :

Un tableau de proportionnalité caractérise une situation de proportionnalité. Il contient les valeurs de deux grandeurs proportionnelles. C’est donc un tableau dans lequel on obtient les nombres d’une ligne en multipliant les nombres de l’autre ligne par le coefficient de proportionnalité.

Exemple

Voici un tableau de proportionnalité caractérisant la situation précédente :

Quantité (

ll

l

)

1515

1

5

2222

2

2

yy

y

4040

4

4747

4

7

Montant (€)

18,7518,75

1

8

,

7

5

xx

x

38,7538,75

3

8

,

7

5

5050

5

58,7558,75

5

8

,

7

5

Dans les colonnes complètes du tableau, les quotients de la valeur de la 2e ligne par celle de la 1re de chaque colonne correspondante sont égaux :18,7515=5040=58,7547=1,25dfrac{18,75}{15}=dfrac{50}{40}=dfrac{58,75}{47}=1,251518,75​=4050​=4758,75​=1,25

Ce tableau caractérise donc bien une situation de proportionnalité.
Son coefficient est 1,251,251,25. Il correspond au prix d’un litre d’essence en euros.

Pour compléter un tableau de proportionnalité, on utilise :

• le coefficient de proportionnalité :

• La valeur

  xx

  x

  est telle que

  22×1,25=x22times 1,25=x

  2

  2

  ×

  1

  ,

  2

  5

  =

  x

  donc

  x=27,50x=27,50

  x

  =

  2

  7

  ,

  5

• La valeur

  yy

  y

  est telle que

  y×1,25=38,75ytimes 1,25=38,75

  y

  ×

  1

  ,

  2

  5

  =

  3

  8

  ,

  7

  5

  donc

  y=38,751,25=31y=dfrac{38,75}{1,25}=31

  y

  =

  1

  ,

  2

  5

  3

  8

  ,

  7

  5

  ​

  =

  3

  1

• ou le « produit en croix » :

• x=22×18,7515=27,50x=dfrac{22times 18,75}{15}=27,50

  x

  =

  1

  5

  2

  2

  ×

  1

  8

  ,

  7

  5

  ​

  =

  2

  7

  ,

  5

• y=38,75×4050=31y=dfrac{38,75 times 40}{50}=31

  y

  =

  5

  3

  8

  ,

  7

  5

  ×

  4

  ​

  =

  3

  1

Le tableau de proportionnalité de cette situation de proportionnalité est donc :

Représentation graphique

Propriété

Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère.

Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère, alors c’est une situation de proportionnalité.

Exemple

Représentons graphiquement la situation de proportionnalité précédente dans un repère dont les axes représentent les valeurs des deux grandeurs proportionnelles :

• Cette représentation graphique est une droite qui passe par l’origine. Ce graphique est donc bien la représentation d’une situation de proportionnalité.

Autres exemples de représentations graphiques

• Cette représentation graphique n’est pas une droite. Ce n’est donc pas une situation de proportionnalité.

• Cette représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l’origine. Ce n’est pas une situation de proportionnalité.

Ces rappels sur la proportionnalité étant faits, nous pouvons passer à l’étude des fonctions linéaires. 

Les fonctions linéaires

Définition et vocabulaire

Définition

Fonction linéaire :

Une fonction linéaire est une fonction qui à un nombre xxx associe le nombre axaxax.
On la note f:x→axf : xrightarrow axf:x→ax ou f(x)=axf(x)=axf(x)=ax avec aaa un nombre donné.

aaa est appelé coefficient de la fonction linéaire fff.

Exemple

Soit la fonction fff définie par f:x→34xf : x rightarrow dfrac{3}{4} xf:x→43​x

• ff

  f

  est une fonction linéaire. Elle a pour coefficient

  34dfrac34

  4

  3

  ​

  .

Soit la fonction ggg définie par g(x)=2xg(x)=2xg(x)=2x

• gg

  g

  est une fonction linéaire. Elle a pour coefficient

  22

  2

  .

Soit la fonction hhh définie par h(x)=5x+1h(x)=5x+1h(x)=5x+1

• hh

  h

  n’est pas une fonction linéaire en raison du «

  +1+1

  +

  1

  ».

Propriété

On peut associer une fonction linéaire à toute situation de proportionnalité. On dit que cette fonction linéaire modélise la situation de proportionnalité.

Attention

Par une fonction linéaire, l’antécédent d’un nombre est unique.

Exemple

Déterminons la fonction linéaire fff qui à 444 associe 131313.

fff est une fonction linéaire, elle est donc de la forme f(x)=axf(x)=axf(x)=ax avec aaa un nombre à déterminer.

On a : f(4)=a×4f(4)=a times 4f(4)=a×4
Or : f(4)=13f(4)=13f(4)=13
Donc : a×4=13a times 4=13a×4=13

a×44=134a=134begin{aligned} dfrac{a times 4}{4}&= dfrac{13}{4} a&=dfrac{13}{4}end{aligned}4a×4​a​=413​=413​​

• La fonction linéaire qui à

  44

  4

  associe

  1313

  1

  3

  est donc la fonction

  f:x→134xf : xrightarrowdfrac {13}{4}x

  f

  :

  x

  →

  4

  1

  3

  ​

  x

  ou

  f(x)=134xf(x)= dfrac {13}{4}x

  f

  (

  x

  )

  =

  4

  1

  3

  ​

  x

Tableau de valeurs

Rappel

Un tableau de valeurs d’une fonction contient sur sa première ligne les valeurs de la variable et sur sa deuxième ligne les valeurs images correspondantes calculées à l’aide de la formule de définition de la fonction.

Propriété

Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

Exemple

Le tableau de valeurs de la fonction fff définie par f:x→34xf : xrightarrowdfrac {3}{4}xf:x→43​x est (pour des valeurs entières de xxx comprises entre −5-5−5 et 555) :

xx

x

−5-5

−

5

−4-4

−

4

−3-3

−

3

−2-2

−

2

−1-1

−

1

00

11

1

22

2

33

3

44

4

55

5

f(x)f(x)

f

(

x

)

−3,75-3,75

−

3

,

7

5

−3-3

−

3

−2,25-2,25

−

2

,

2

5

−1,5-1,5

−

1

,

5

−0,75-0,75

−

,

7

5

00

0,750,75

,

7

5

1,51,5

1

,

5

2,252,25

2

,

2

5

33

3

3,753,75

3

,

7

5

Représentation graphique

Rappel

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction fff est l’ensemble des points de coordonnées (x ;f(x))(x ;f(x))(x ;f(x)).
Pour construire cette représentation graphique, on commence par positionner les points dont on connait les coordonnées grâce au tableau de valeurs puis on les relie entre eux.

Exemple

Voici la représentation graphique de la fonction fff :

• On constate que la représentation graphique de

  ff

  f

  est une droite passant par l’origine du repère.C’est donc bien une situation de proportionnalité.

Propriété

Soit une fonction linéaire f:x→axf : x rightarrow axf:x→ax

• La représentation graphique de

  ff

  f

  est une droite passant par l’origine

  (0 ;0)(0 ; 0)

  (

   

  ;

  )

  du repère.

• L’équation de cette droite est

  y=axy =ax

  y

  =

  a

  x

  .

• aa

  a

  est appelé coefficient directeur de la droite

  y=axy=ax

  y

  =

  a

  x

  .

Il donne une indication sur la direction de la droite :

• si

  aa

  a

  est positif, la droite « monte » ;

• si

  aa

  a

  est négatif, la droite « descend ».

Pour construire la représentation graphique d’une fonction linéaire fff dans un repère d’origine OOO de coordonnées (0 ;0)(0 ;0)(0 ;0), il suffit de connaître les coordonnées d’un seul point M(x ;f(x))M(x ; f(x))M(x ;f(x)) autre que OOO et de tracer la droite (OM)(OM)(OM).

• La représentation graphique de la fonction

  ff

  f

  est la droite

  (OM)(OM)

  (

  O

  M

  )

  . Elle a pour équation

  y=axy =ax

  y

  =

  a

  x

  .

Exemple

Construisons la représentation graphique de g(x)=2xg(x)=2xg(x)=2x

ggg est une fonction linéaire de coefficient 222, donc sa représentation graphique est la droite d’équation y=2xy=2xy=2x passant par l’origine du repère et par un point MMM dont les coordonnées vérifient la formule g(x)=2xg(x)=2xg(x)=2x

On peut donc construire le tableau de valeurs suivant avec, par exemple, les coordonnées du point MMM d’abscisse 111 et d’ordonnée g(1)=2×1=2g(1)=2times 1=2g(1)=2×1=2

xx

x

00

11

1

g(x)g(x)

g

(

x

)

00

22

2

On peut maintenant tracer sa représentation graphique :

Application des fonctions linéaires aux pourcentages

Pratiquer une augmentation

Exemple

On pratique une augmentation de 5 %5 %5 % à un prix initial.

Soit PIPIPI le prix initial en €.

Le montant de l’augmentation est de 5 %5 %5 % de PIPIPI c’est-à-dire 5100×PI=0,05PIdfrac{5}{100} times PI=0,05PI1005​×PI=0,05PI

Soit PFPFPF le prix final en €, alors PF=PI+0,05PI=1,05PIPF = PI+0,05PI=1,05PIPF=PI+0,05PI=1,05PI

• Le prix final d’un article après une augmentation de

  5 %5 %

  5

   

  %

  est donc proportionnel au prix initial.

On peut modéliser le prix final d’un article après une augmentation de 5 %5 %5 % par la fonction linéaire fff telle que f(x)=1,05xf(x)=1,05xf(x)=1,05x avec xxx prix initial et f(x)f(x)f(x) prix final.

Propriété

Si un prix initial xxx subit une augmentation de p %p %p % alors le prix final est donné par la fonction linéaire f(x)=axf(x)=axf(x)=ax ou bien PF=a×PIPF=a times PIPF=a×PI avec a=1+p100a=1+dfrac{p}{100}a=1+100p​

Exemple

Une augmentation de 25 %25 %25 % revient à multiplier le prix initial par 1+0,251 + 0,251+0,25 soit 1,251,251,25.

Une augmentation de 50 %50 %50 % revient à multiplier le prix initial par 1+0,51 + 0,51+0,5 soit 1,51,51,5.

Une augmentation de 100 %100 %100 % revient à multiplier le prix initial par 1+11 + 11+1 soit 222.

Pratiquer une réduction

Exemple

On pratique une réduction de 30 %30 %30 % à un prix initial.

Soit PIPIPI le prix initial en €.

Le montant de la réduction est de 30 %30 %30 % de PIPIPI c’est-à-dire 30100×PI=0,3PIdfrac{30}{100} times PI=0,3PI10030​×PI=0,3PI

Soit PFPFPF le prix final en €, alors PF=PI−0,3PI=0,7PIPF=PI-0,3PI=0,7PIPF=PI−0,3PI=0,7PI

• Le prix final d’un article après une réduction de

  30 %30 %

  3

   

  %

  est donc proportionnel au prix initial.

On peut modéliser le prix final d’un article après une réduction de 30 %30 %30 % par la fonction linéaire fff telle que f(x)=0,7xf(x)=0,7xf(x)=0,7x avec xxx prix initial et f(x)f(x)f(x) prix final.

Propriété

Si un prix initial xxx subit une réduction de p %p %p % alors le prix final est donné par la fonction linéaire f(x)=axf(x)=axf(x)=ax ou bien PF=a×PIPF=a times PIPF=a×PI avec a=1−p100a=1-dfrac{p}{100}a=1−100p​

Exemple

Une réduction de 20 %20 %20 % revient à multiplier le prix initial par 1−0,21-0,21−0,2 soit 0,80,80,8.

Une réduction de 50 %50 %50 % revient à multiplier le prix initial par 1−0,51-0,51−0,5 soit 0,50,50,5.

Une réduction de 75 %75 %75 % revient à multiplier le prix initial par 1−0,751-0,751−0,75 soit 0,250,250,25.