Somme et produit des racines

Apprendre les mathématiques > Cours & exercices de mathématiques > test de maths n°124463 : Somme et produit des racines

Table des matières

Somme et produit des racines
Soit le polynôme du second degré P(x)= ax²+bx +c où a est différent de 0 et a,b,c sont des réels

SI P admet deux racines distinctes x1 et x2 alors

- Somme des racines de P : x1+x2= -b/a

- Produit des racines de P : x1*x2= c/a

Théorème

Soient s et p 2 réels. Il existe 2 réels u et v tels que u+v=s et uv=p si et seulement si s²-4p≥0

Dans ce cas, u et v sont les solutions de l’équation x²-sx+p=0

Rappel : pour résoudre l’équation ax²+bx+c=0 on forme le discriminant $\Delta$ =b²-4ac

Si $\Delta$ >0 l’équation admet 2 solutions réelles

Si $\Delta$ =0 l’équation admet 1 solution réelle

Si $\Delta$ <0 l’équation n’admet pas de solution réelle

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Q1 L’équation x²-6x+8=0 admet deux racines. La somme de ces racines est

et le produit de ces racines est

Q2 On cherche à résoudre l’équation -x²+4x+5=0. Une solution évidente est

et l’autre solution est

Q3 L’équation x²+23x-24=0 admet pour racine évidente

et l’autre racine est

Q4 Pour résoudre le système x+y=-2 et xy=3 on forme l’équation

dont le discriminant est

donc le système admet solution(s).

Q5 Pour résoudre le système x+y=3 et xy=2 on forme l’équation

dont le discriminant vaut

donc le système admet solution(s).

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6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré (Delta positif ou nul)

6.1. Somme et produit des racines ($Deltageq0$)

Théorème 4.
Si le trinôme $ax^2+bx+c$, $aneq 0$, admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ (distinctes ou confondues, $Delta geq 0$), alors : la somme des racines $S = x_1+x_2$ est égale à $-dfrac{b}{a}$ et leur produit $P = x_1x_2$ est égale à $dfrac{c}{a}$ :
$$ color{red}{boxed{;S= -dfrac{b}{a} ;}} quadtextrm{et}quad color{red}{boxed{;P= dfrac{c}{a} ;}}$$

Démonstration.
On considère un trinôme du second degré : $ax^2+bx+c$, $aneq 0$.
Supposons que $Deltageq0$. Donc le trinôme admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ (distinctes ou confondues) données par :
$$ x_1=dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}quadtextrm{et}quad x_2=dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}$$

On a d’une part :
$$begin{array}{rcl}
S &=& x_1+x_2\
&=& dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}+dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a} \
&=& dfrac{-b-sqrt{Delta}+(-b)+sqrt{Delta}}{2a} \
&=& dfrac{-2b}{2a} \
color{red}{S} & color{red}{=}& color{red}{dfrac{-b}{a}} \
end{array} $$
Et d’autre part, en utilisant l’identité remarquable I.R.n°3, on obtient :
$$begin{array}{rcl}
P &=& x_1times x_2\
&=& left(dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}right) times left(dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}right) \
&=& dfrac{ left(-b-sqrt{Delta}right) times left(-b+sqrt{Delta}right)}{4a^2} \
&=& dfrac{(-b)^2-left(sqrt{Delta}right)^2}{4a^2} \
&=& dfrac{b^2-Delta}{4a^2} \
&=& dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \
&=& dfrac{4ac}{4a^2} \
color{red}{P} & color{red}{=}& color{red}{dfrac{c}{a}} \
end{array} $$
CQFD

6.2. Calcul des racines d’un trinôme du second degré connaissant leur somme et leur produit

Théorème 5.
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels dont la somme est égale à $S$ et le produit égal à $P$. Alors $x$ et $y$ sont les deux solutions de l’équation du second degré où $X$ désigne l’inconnue :
$$X^2-SX+P=0$$

Démonstration du théorème 5.

Soient $x$ et $yinR$ tels que : $S=x+y$ et $P=xy$.
Déterminer $x$ et $y$ revient à résoudre le système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$
$$left{begin{align}
x+y&= S\
xy&=P\
end{align}right.$$

Remarque importante

Tout d’abord, $x$ et $y$ jouent des « rôles symétriques » dans ce système. C’est-à-dire, si on change $x$ en $y$ et $y$ en $x$, on obtient encore une solution du système. Autrement dit :
Le couple $(x;y)$ est solution du système si, et seulement si, le couple $(y;x)$ est solution du système. Donc, si $xneq y$, nous obtiendrons au moins deux couples solutions du système.

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Revenons à la démonstration du théorème 5.

$x$ et $y$ sont solution du système si et seulement si :
$$left{ begin{align}
&x+y= S\ &xy=P\
end{align}right. $$
$$Leftrightarrow left{ begin{align}
&y= S-x\ &x(S-x)=P\
end{align}right.$$
$$Leftrightarrow left{ begin{align}
&y= S-x\ &Sx-x^2=P\
end{align}right.$$
$$Leftrightarrow left{ begin{align}
&y= S-x\ &x^2-Sx+P=0\
end{align}right.$$
$$Leftrightarrow left{ begin{align}
&x= S-y\ &y^2-Sy+P=0\
end{align}right.$$
Cette dernière équivalence est vraie car $x$ et $y$ jouent des « rôles symétriques » dans ce système.

Par conséquent, $x$ et $y$ sont solution du système si et seulement si $x$ et $y$ sont solution de l’équation $X^2-SX+P=0$.

2ème démonstration du théorème 5.

On peut retrouver le même résultat en mettant $a$ en facteur dans le trinôme du second degré $aX^2+bX+c$, où $X$ désigne l’inconnue et $aneq 0$. En effet :
$$ aX^2+bX+c =aleft( X^2+dfrac{b}{a}X+ dfrac{c}{a}right)$$
Or, $S= -dfrac{b}{a}$ et $P=dfrac{c}{a}$. Donc :
$$ aX^2+bX+c =aleft( X^2-SX+Pright)$$
Par conséquent, les solutions de l’équation $aX^2+bX+c=0$ sont exactement les mêmes que les solutions de l’équation $X^2-SX+P=0$.

6.3. Eexemples

Exemple 1.
Déterminer tous les couples de nombres réels, s’il en existe, dont la somme est égale à $5$ et le produit à $-14$.

Corrigé 1.
On cherche un couple $(x;y)$ de nombres tels que : $S=x+y=5$ et $P=xy=-14$.
Déjà, on peut remarquer que $x$ et $y$ sont de signes contraires.
D’après le cours, $x$ et $y$ sont solutions de l’équation $X^2-SX+P=0$, où $X$ désigne l’inconnue. On résout donc l’équation : $$X^2-5X-14=0$$
On calcule le discriminant $Delta=b^2-4ac$.
$Delta=(-5)^2-4times 1times(-14)$. $boxed{; Delta=81;}$.
Comme $Delta>0$, cette équation admet deux solutions réelles distinctes (à calculer) : $X_1=-2$ et $X_2=7$.
Comme $X_1$ et $X_2$ jouent des rôles symétriques, nous obtenons donc deux couples solutions du problème : Si $x=-2$ alors $y=7$ et si $x=7$ alors $y=-2$.
Conclusion. L’ensemble des solutions du problème est :
$$color{red}{boxed{;{cal S}=left{ (-2;7) ; (7;-2) right};}}$$

Exemple 2.
Déterminer tous les couples de nombres réels, s’il en existe, dont la somme des carrés est égale à $34$ et le produit à $-15$.

Corrigé 2.
1er problème : On cherche tous les couples $(x;y)$ de nombres tels que : $S=x^2+y^2=34$ et $P=xy=-15$.
Déjà, on peut remarquer que $x$ et $y$ sont de signes contraires.
Nous ne pouvons pas appliquer directement la méthode décrite ci dessus.

Nous allons donc effectuer un changement de variables.
Calculons $P^2=225=x^2y^2$.
On peut alors effectuer le changement de variables suivant :
$$x’=x^2quadtextrm{et}quad y’=y^2$$
On pose alors $S’=x’+y’= x^2+y^2=34$ et $P’=x’y’= x^2y^2 =225$.
2ème problème : On cherche tous les couples $(x’;y’)$ de nombres tels que : $S’=x’+y’=34$ et $P’=x’y’=225$.

Maintenant, nous pouvons appliquer la méthode du théorème 5 au 2ème problème
D’après le cours, $x’$ et $y’$ sont solutions de l’équation $X^2-S’X+P’=0$, où $X$ désigne l’inconnue. On résout donc l’équation : $$X^2-34X+225=0quad(*)$$
On calcule le discriminant $Delta=b^2-4ac$.
$Delta=(-34)^2-4times 1times(225)$. $boxed{; Delta=256=16^2;}$.
Comme $Delta>0$, cette équation admet deux solutions réelles distinctes (à calculer) : $X_1=9$ et $X_2=25$. Donc les couples solutions du 2ème problème sont :
$$(x’;y’)=(9;25) quadtextrm{et}quad (x’;y’)=(25;9)$$

Revenons maintenant aux variables initiales $x$ et $y$.
Les couples $(x;y)$ solutions du problème initial doivent vérifier :
$(1)$ $(x^2;y^2)=(9;25)$ et $x$ et $y$ sont de signes contraires ;
ou $(2)$ $(x^2;y^2) =(25;9)$ et $y$ sont de signes contraires.

$(1)Leftrightarrow x=pm 3 ;textrm{et}; y=pm 5 ;textrm{et}; xy<0$.
On obtient deux premiers couples $(x;y)=(-3;5)$ et $(x;y)=(3;-5)$

$(2)Leftrightarrow x=pm 5 ;textrm{et}; y=pm 3 ;textrm{et}; xy<0$.
On obtient deux nouveaux couples $(x;y)=(-5;3)$ et $(x;y)=(5;-3)$

Conclusion. L’ensemble des solutions du problème initial est :
$$color{red}{boxed{;{cal S}=left{ (-3;5) ; (3;-5) ; (-5;3) ; (5;-3) right};}}$$

Exemple 3.
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels non nuls de somme $S$ et de produit $P$
1°) Exprimer en fonction de $S$ et $P$ les nombres suivants :
$qquad$ a) $S_1=x^2+y^2$
$qquad$ b) $S_2=x^3+y^3$
$qquad$ c) $S_3=sqrt{x}+sqrt{y}$ ; $x>0$ et $y>0$.
$qquad$ d) $S_4=dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}$ ; $xneq 0$ et $yneq 0$.
$qquad$ d) $S_5=dfrac{1}{x^2}+dfrac{1}{y^2}$ ; $xneq 0$ et $yneq 0$.
2°) Déterminer tous les couples de nombres réels, s’il en existe, dont la somme est égale à $-1$ et la somme des cubes est égale à $-19$.

A vous !

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Propriétés de la Somme et du Produit des racines d’un polynôme du second degré

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Relations coefficients d’un trinôme – Somme/Produit de ses racines

Nous nous plaçons, comme dans tous les cours sur les polynômes, dans le cas où les racines sont des nombres réels.

Si l’on connaît la somme (S) et le produit (P) des racines d’un polynôme du second degré [Q(x)=ax^2+bx+c;;;small{mathbf{avec}}normalsize;aneq 0] alors ces racines sont aussi les racines du polynôme [R(x)=x^2-Sx+P]

On montre que (S=-displaystyle{frac{b}{a}}) et (P=displaystyle{frac{c}{a}})

Détaillons ce théorème pour bien comprendre ce qu’il nous apporte.

Le polynôme a des racines réelles donc cela veut dire que le discriminant de (Q(x)) est supérieur ou égal à zéro ((Deltage0)).

Nous appellerons les racines de (Q(x)) : (x_1) et (x_2). Elles peuvent être égales.

La somme des racines est (S=x_1+x_2)

Le produit des racines est (P=x_1x_2)

Le théorème nous affirme que (x_1) et (x_2) sont aussi les racines d’un polynôme (R(x)) formé avec (S) et (P) tel que (R(x)=x^2-Sx+P)

Les coefficients de (R(x)) sont donc :

Pour le monôme en (x^2) : (1)
Pour le monôme en (x) : (-S)
Pour le terme constant : (+P)

Même sans connaître les racines nous sommes capables de calculer (S) et (P) à partir des coefficients du polynôme de départ (Q(x)).

Les relations entre les racines, leur Somme, leur Produit, et les Coefficients du polynôme s’appelle : Relations de Viète pour le degré 2.

Du nom de François Viète, mathématicien français du 16ème siècle.

Il existe un autre théorème nécessaire pour résoudre certains systèmes non linéaires simples que vous découvrirez dans les exemples :

Si nous avons deux nombres réels quelconques, nous pouvons affirmer qu’ils sont racines du polynôme : [R(x)=x^2-Sx+P] où (S) est leur somme et (P) leur produit.

Exemple d’application des propriétés de la Somme et du Produit

Vérifiez que le théorème s’applique au polynôme [Q(x)=-2x^2+4x+16]

Nous avons étudié ce polynôme dans la page de présentation des polynômes de degré 2 et nous avons trouvé sa forme factorisée : [Q(x)=-2(x+2)(x-4)] Ainsi nous obtenons immédiatement ses racines (x_1=-2) et (x_2=4)

Et nous calculons leur somme (S) leur produit (P) : [S=2quad etquad P=-8]

Donc, selon le théorème, (x_1) et (x_2) devraient être racines du polynôme [R(x)=x^2-2x-8]

Pour en être bien sûr, vérifions-le en calculant (R(x_1)) et (R(x_2)) :

[begin{align}R(x_1)&=(-2)^2-2(-2)-8\&=4+4-8\&=0end{align}]

[begin{align}R(x_2)&=(4)^2-2(4)-8\&=16-8-8\&=0end{align}]

Donc pas de problème ! Ca marche ! Nous avons vérifié que les polynômes (Q(x)) et (R(x)) ont les mêmes solutions.

Vérifions maintenant que nous pouvions calculer (S) et (P) sans même connaître la valeur des racines…

Les coefficients de (Q(x)) sont (a=-2), (b=4) et (c=16)

Reprenons les formules du théorème :

[begin{align}S&=-frac{b}{a}\[.6ex]&=-frac{4}{-2}\[.6ex]&=2end{align}]

[begin{align}P&=frac{c}{a}\[.6ex]&=frac{16}{-2}\[.6ex]&=-8end{align}]

Et c’est vérifié ! Nous retrouvons bien la somme et le produit.

Enfin une remarque. Nous constatons que si nous mettons en facteur le coefficient dominant (a) de (Q(x)) nous obtenons : [Q(x)=-2R(x)]

Une autre forme de relation entre les coefficients et les racines

L’important, comme toujours, est d’identifier correctement les coefficients. Vous pouvez visualiser la relation entre les deux polynômes comme ceci :

Si nous avons un polynôme dont le coefficient dominant est (1) (donc il est en (x^2) seul) ou si nous nous y ramenons en mettant le coefficient en facteur, alors nous savons que :

le coefficient de (x) est la somme de ses racines
le monôme constant est le produit de ses racines

[array{Q(x)=color{red}{a};(;x^2 & + & ;;;underbrace{color{red}{displaystyle{frac{b}{a}}}}x & + & ;,underbrace{color{red}{displaystyle{frac{c}{a}}}})\ & & LARGE{updownarrow} & & LARGEupdownarrow \ qquadqquadquad;,x^2 & + & ;;;overbrace{color{red}{-S}}x & + & overbrace{color{red}{P}} }]

Reprenons l’exemple précédent :

[array{Q(x)=color{red}{-2};(;x^2 & + & ;;;underbrace{color{red}{displaystyle{frac{4}{-2}}}}x & + & ;;,underbrace{color{red}{displaystyle{frac{16}{-2}}}};)\ & & LARGE{updownarrow} & & LARGEupdownarrow \ qquadqquadqquad;x^2 & + & ;;;overbrace{color{red}{-2}}x & + & overbrace{color{red}{-8}} }]

Nous connaissons immédiatement la Somme et le Produit même sans connaître les racines.

Utilité pratique du théorème

Vous avez déjà galéré pour trouver une des racines, vous pouvez calculer l’autre facilement et rapidement…

?

Reprenons encore notre trinôme :[Q(x)=-2x^2+4x+16] Vous connaissez déjà une des racines, comment faire vite pour la deuxième ?

Ce coup-là, vous ne connaissiez pas la forme factorisée donc vous avez calculé Delta et trouvé (x_1=-2), l’heure tourne…

Mais vous savez que la somme des racines peut s’écrire de deux façons : [S=x_1+x_2quad etquad S=-frac{b}{a}] Les deux formes sont égales, écrivez-le : [-2+x_2=-frac{4}{-2}iff x_2=2+2=4]

Vous avez gagné du temps. Et vous n’êtes pas obligé de détailler comme ça !
Vous avez trouvé les deux racines, mais un peu inquiet, vous voulez vérifier…

?

Toujours avec le même :[Q(x)=-2x^2+4x+16] Vous avez calculé [x_1=-2quad etquad x_2=4] Est-ce que c’est juste ?

Stress… Stress… Mais non ! Calculons la somme des racines :

[begin{align}\[-.9ex]S&=x_1+x_2\[1.8ex]&=-2+4\[1.8ex]&=2end{align}]

[begin{align}S&=-frac{b}{a}\[.6ex]&=-frac{4}{-2}\[.6ex]&=2end{align}]

Les deux formules que nous connaissons donnent le même résultat, c’est un bon début ! Vérifions maintenant le produit

[begin{align}\[-.9ex]P&=x_1x_2\[1.8ex]&=-2times4\[1.8ex]&=-8end{align}]

[begin{align}P&=frac{c}{a}\[.6ex]&=frac{16}{-2}\[.6ex]&=-8end{align}]

Et c’est tout bon ! La somme et le produit des racines comparées avec les rapports des coefficients du polynôme donnent le même résultat. Vous êtes sûrs d’avoir trouvé la réponse juste.
Vous rencontrerez des exercices où vous connaissez la somme et le produit de deux grandeurs et il faudra les retrouver.

?

Voici la somme et le produit de deux nombres : [S=40quad etquad P=80] Trouvez-les !

Mais comme vous savez maintenant que ces nombres sont solutions de l’équation, [x^2-40x+80=0] Il ne vous reste qu’à la résoudre !
Dit d’une façon plus solennelle, spécialement en première S, l’exemple précédent s’appelle la résolution d’un système d’équations Somme-Produit, ou résolution d’un système non linéaire. Mais c’est le même problème présenté de manière plus mathématique. Cela nous donnera :

?

Trouvez deux réels (x) et (y) tels que : [begin{cases}40=x+y\ 80=xyend{cases}]

Mais on ne nous la fait pas ! Nous détectons la somme et le produit de deux réels. Et nous savons qu’il existe un polynôme dont ces deux nombres sont solutions : [x^2-40x+80=0]
Dernière petite astuce, si le discriminant est nul, il suffit de diviser la somme par deux pour obtenir la racine double.

?

Voici un polynôme dont le discriminant est nul : [S(x)=-x^2+6x-9] Trouvez la racine double sans utiliser la formule classique.

Pour obtenir le polynôme dont les coefficients seront la somme et le produit des racines, nous devons mettre le coefficient dominant (-1) en facteur : [S(x)=-(x^2-6x+9)]

Nous savons alors que : [S=6quad etquad P=9]

Le discriminant est nul, le polynôme n’a qu’une seule racine qui est égale à : [x_1=displaystyle{frac{S}{2}}=3]

Ce qui est exact ! Et le théorème nous permet d’ajouter que (x_1) est aussi racine de (S(x)).

La formule classique, c’est (x_1=frac{-b}{2a}).

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Démonstration du théorème et dernières propriétés

Soit une fonction polynôme du second degré : [Q(x)=ax^2+bx+c;;;small{mathbf{avec}}normalsize;aneq 0]

Nous nous plaçons dans le cas où (Deltage0), nous avons donc deux racines réelles (x_1) et (x_2), éventuellement égales.

Nous avons vu que nous pouvons alors écrire (Q) sous la forme factorisée : [Q(x)=a(x-x_1)(x-x_2)]

Ces deux écritures sont bien entendu égales.

Développons cette deuxième expression : [begin{align}Q(x) &=a(x^2-xtimes x_2-xtimes x_1+x_1times x_2)\ &=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2] end{align}]

Nous constatons que sont apparus la Somme et le Produit des racines, que fort subtilement nous allons nommer (S) et (P) : [Q(x)=a(x^2-Sx+P)] en posant donc (S=x_1+x_2) et (P=x_1x_2)

Nous nommerons (R) la fonction polynôme telle que (R(x)=x^2-Sx+P)

Notre forme développée du polynôme (Q) de départ est égale à cette forme que nous venons de trouver.

Nous avons donc : [ax^2+bx+c=a(x^2-Sx+P)]

Nous pouvons factoriser le coefficient (a) dans le membre de gauche ((aneq0)) : [a(x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a})=a(x^2-Sx+P)]

Nous pouvons simplifier par (a) et nous obtenons : [x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a}=x^2-Sx+P]

Puisque deux polynômes sont égaux si leurs coefficients de même rang le sont, nous pouvons en déduire que (S=-displaystyle{frac{b}{a}}) et (P=displaystyle{frac{c}{a}})

Il existe une relation simple entre la somme et le produit des racines d’un polynôme et ses coefficients.

Montrons maintenant que les racines de (Q) sont aussi les racines de (R).

Puisque toutes les écritures d’un polynôme sont égales, nous pouvons écrire :

[Q(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x^2-Sx+P)]

En simplifiant par (a) nous obtenons : [(x-x_1)(x-x_2)=x^2-Sx+P]

Les racines évidentes de ce polynôme sont (x=x_1) et (x=x_2), comme c’était le cas pour le polynôme (Q).

(x_1) et (x_2) sont donc racines du membre de droite de l’égalité, c’est à dire du polynôme (R).

Nous pouvons même déduire un petit peu plus ! Nous avons une relation de proportionnalité entre un polynôme et celui construit avec la somme et le produit de ses racines.

Tout polynôme (Q) du second degré [Q(x)=ax^2+bx+c;small{mathbf{avec}}normalsize;aneq 0] dont le discriminant est positif ou nul peut s’écrire sous la forme [Q(x)=a(x^2-Sx+P)] où (S) est la somme et (P) le produit de ses racines.

Nous avons montré plusieurs propriétés :

(Q(x)=aR(x)), avec (a) nombre réel non nul.
Le coefficient dominant (a) est donc un Coefficient de Proportionnalité.
(x_1) et (x_2) sont racines de tous les polynômes de la forme (a(x^2-Sx+P)), soit une infinité de polynômes.

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