Spé maths es matrices

Lycée

Mathématiques en Terminale ES option Maths
Les Matrices

Ce chapitre traite principalement des matrices.

On va dans ce chapitre apprendre entre autre à prouver que : $$begin{pmatrix} 1 & 2&3\0&4&5\6&7&8 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 3&-5&2\-30&10&5\24&-5&-4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 15 & 0&0\0&15&0\0&0&15 end{pmatrix}$$

 

1. T.D. : Travaux Dirigés

• TD n°1 :  Les matrices
  Exercices d’opérations sur les matrices, calcul d’inverse à l’aide de différentes méthodes, diagonalisation et puissance, problèmes (avec corrections).

  Exercices d’opérations sur les matrices, calcul d’inverse à l’aide de différentes méthodes, diagonalisation et puissance, problèmes (avec corrections).

• TD n°2 :  Les matrices au bac
  Des exercices du Bac ES avec corrections détaillées.

  Des exercices du Bac ES avec corrections détaillées.

 

2. Le Cours

• Le cours complet sur les matrices.
  Définition, opérations sur les matrices, multiplication, inverse et application à la résolution de systèmes.

  Définition, opérations sur les matrices, multiplication, inverse et application à la résolution de systèmes.

 

 3. Devoirs

• DS de Mathématiques : Tous les devoirs surveillés de mathématiques et les corrections.
• Méthodologie : Comment présenter une copie, réviser un controle.

 

4. Compléments

Le Bac

Un peu d’histoire

 

Articles Connexes

Exercice sur matrices (au bac)

Ceci est un exercice de synthèse sur les matrices, tiré de l’épreuve du bac ES spécialité maths (Polynésie 2015). Il a aujourd’hui sa place en terminale générale maths expertes.

 

Énoncé

Un constructeur de planches de surf fabrique trois modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par trois postes de travail. Le tableau 1 indique le nombre d’heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches et le tableau 2 indique le coût horaire par poste de travail.

Tableau 1 Poste 1 Poste 2 Poste 3 Modèle 1 8 h 10 h 14 h Modèle 2 6 h 6 h 10 h Modèle 3 12 h 10 h 18 h
Tableau 2 Poste 1 25 € /h Poste 2 20 € /h Poste 3 15 € /h

 1- Soit (H) et (C) les deux matrices suivantes :

(H = left( {begin{array}{*{20}{c}}8&{10}&{14}\6&6&{10}\{12}&{10}&{18}end{array}} right)) et (C = left( {begin{array}{*{20}{c}}{25}\{20}\{15} end{array}} right))

a. Donner la matrice produit (P = H times C)

b. Que représentent les coefficients de la matrice (P = H times C) ?

2-   Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants : Modèle 1 : 500 € ; Modèle 2 : 350 € ; Modèle 3 : 650 €.

Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés (a,) (b) et (c,) permettant d’obtenir ces prix de revient.

a. Montrer que les réels (a,) (b) et (c) doivent être solutions du système (H times left( {begin{array}{*{20}{c}}a\b\cend{array}} right)) ( = left( {begin{array}{*{20}{c}}{500}\{350}\{650}end{array}} right))

b. Déterminer les réels (a,) (b) et (c.)

 

Corrigé détaillé

1- Multiplication de matrices

a. Il ne faut que quelques secondes pour multiplier ces matrices avec une calculatrice (ici une TI-83 Premium). Voir les matrices avec TI-83 ou les matrices avec Casio.

À la main, les opérations sont les suivantes :

(P = left( {begin{array}{*{20}{c}}8&{10}&{14}\6&6&{10}\{12}&{10}&{18}end{array}} right) times left( {begin{array}{*{20}{c}}{25}\{20}\{15}end{array}} right)) ( = left( {begin{array}{*{20}{c}}{8 times 25 + 10 times 20 + 14 times 5}\{6 times 25 + 6 times 20 + 10 times 15}\{12 times 25 + 10 times 20 + 18 times 15}end{array}} right)) ( = left( {begin{array}{*{20}{c}}{610}\{420}\{770}end{array}} right))

b. La matrice (P) indique le coût de revient de chaque modèle de planche (pour chaque poste, le coût horaire multiplié par le nombre d’heures). Un modèle 1 a coûté 610 €, un modèle 2 a coûté 420 € et un modèle 3 a coûté 770 €.

2- Traduction en matrice et inversion

a. D’après l’énoncé, le fabricant souhaite agir sur le coût horaire tandis que le nombre d’heures passées pour chacun des modèles par poste reste inchangé. On conserve donc la matrice (H) mais comme on ignore l’objectif de coût horaire par poste, on remplace la matrice (C) par une matrice comportant trois inconnues. La matrice résultat (P) est quant à elle remplacée par les objectifs de coûts de revient.

b. Inversons (H) avec la calculatrice.

Mettons ce résultat de côté et procédons aux calculs…

(left( {begin{array}{*{20}{c}}8&{10}&{14}\6&6&{10}\{12}&{10}&{18}end{array}} right) times left( {begin{array}{*{20}{c}}a\b\cend{array}} right)) ( = left( {begin{array}{*{20}{c}}{500}\{350}\{650}end{array}} right))

( Leftrightarrow {H^{ – 1}} times left( {begin{array}{*{20}{c}}8&{10}&{14}\6&6&{10}\{12}&{10}&{18}end{array}} right) times left( {begin{array}{*{20}{c}}a\b\cend{array}} right)) ( = {H^{ – 1}} times left( {begin{array}{*{20}{c}}{500}\{350}\{650}end{array}} right))

Il est temps de retrouver la matrice inverse que nous avons réservée.

( Leftrightarrow left( {begin{array}{*{20}{c}} a\ b\ c end{array}} right)) ( = left( {begin{array}{*{20}{c}} {0,5}&{ – 2,5}&1\ {0,75}&{ – 1,5}&{0,25}\ { – 0,75}&{2,5}&{ – 0,75} end{array}} right) times left( {begin{array}{*{20}{c}} {500}\ {350}\ {650} end{array}} right))

Avec la calculatrice…

( Leftrightarrow left( {begin{array}{*{20}{c}}a\b\cend{array}} right) = left( {begin{array}{*{20}{c}}{25}\{12,5}\{12,5}end{array}} right))

Par conséquent, le coût horaire reste le même pour le poste 1 mais il doit descendre à 12,50 € pour les deux autres postes.

 

 

On traduit les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets A A A et B B B:

La somme des coefficients de chacune des lignes de M M M est égale à 1 .

Le coefficient de M M M situé sur la i i i-ième ligne et la j j j-ième colonne est la probabilité inscrite sur l’arc reliant le sommet i i i au sommet j j j (ou 0 s’il cet arc n’existe pas).

La matrice de transition M M M d’un graphe G G G d’ordre n n n est une matrice carrée d’ordre n n n.

M = ( 0 , 5 0 , 5 0 , 3 0 , 7 ) . M= begin{pmatrix} 0,5 & 0,5\ 0,3 & 0,7 end{pmatrix}. M=(​0,5​0,3​​​0,5​0,7​​).

La matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l’ordre A A A, B B B est:

Pour tous les états P=(ab)P = (aquad b)P=(ab) du graphe : a+b=1a + b = 1a+b=1.

Pour que PPP soit un état stable, il faut de plus que PM=PPM = PPM=P :

PM=P⇔(ab)×(0,50,50,30,7)=(ab)PM=P Leftrightarrow begin{pmatrix} a&bend{pmatrix} times begin{pmatrix} 0,5 & 0,5\ 0,3 & 0,7 end{pmatrix} =begin{pmatrix} a&bend{pmatrix}PM=P⇔(​a​​​b​​)×(​0,5​0,3​​​0,5​0,7​​)=(​a​​​b​​)

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PM=P⇔(0,5a+0,3b0,5a+0,7b)=phantom{PM=P} Leftrightarrow begin{pmatrix} 0,5a+0,3b & 0,5a+0,7bend{pmatrix} =PM=P⇔(​0,5a+0,3b​​​0,5a+0,7b​​)=(ab)begin{pmatrix} a&bend{pmatrix}(​a​​​b​​)

PM=P⇔{0,5a+0,3b=a0,5a+0,7b=bphantom{PM=P} Leftrightarrow leftlbrace begin{array}{r c l} 0,5a+0,3b &= &a\ 0,5a+0,7b &=&b end{array} right.PM=P⇔{​0,5a+0,3b​0,5a+0,7b​​​=​=​​​a​b​​

PM=P⇔{−0,5a+0,3b=00,5a−0,3b=0phantom{PM=P} Leftrightarrow leftlbrace begin{array}{r c l} – 0,5a+0,3b &= &0\ 0,5a – 0,3b &=& 0 end{array} right.PM=P⇔{​−0,5a+0,3b​0,5a−0,3b​​​=​=​​​0​0​​

PM=P⇔0,5a−0,3b=0phantom{PM=P} Leftrightarrow 0,5a – 0,3b = 0PM=P⇔0,5a−0,3b=0.

Comme a+b=1a+b=1a+b=1, l’état stable est solution du système (S)(S)(S) :

(S): {0,5a−0,3b=0a+b=1(S) : leftlbrace begin{array}{r c l} 0,5a – 0,3b & = &0\ a+b & = & 1 end{array} right.(S): {​0,5a−0,3b​a+b​​​=​=​​​0​1​​

(S) ⇔ {0,5a−0,3(1−a)=0b=1−a(S) Leftrightarrow leftlbrace begin{array}{r c l} 0,5a – 0,3(1 – a) & = & 0\ b & = & 1 – a end{array} right.(S) ⇔ {​0,5a−0,3(1−a)​b​​​=​=​​​0​1−a​​

(S) ⇔ {0,8a=0,3b=1−a(S) Leftrightarrow leftlbrace begin{array}{r c l} 0,8a & = & 0,3\ b & = & 1 – a end{array} right.(S) ⇔ {​0,8a​b​​​=​=​​​0,3​1−a​​

(S) ⇔ {a=38 //b=58(S) Leftrightarrow leftlbrace begin{aligned} a & = & dfrac{3}{8}\ ~// b & = & dfrac{5}{8} end{aligned} right. (S) ⇔ ​⎩​⎪​⎨​⎪​⎧​​​a​ //b​​​=​=​​​​8​​3​​​​8​​5​​​​

L’état stable est donc P=(3858)P=begin{pmatrix} dfrac{3}{8} & dfrac{5}{8} end{pmatrix}P=(​​8​​3​​​​​​8​​5​​​​).

À retenir

Un état probabiliste PPP est stable si bm{PM = P} où MMM est la matrice de transition associée au graphe.

Pour tout graphe probabiliste dont la matrice de transition ne comporte pas de 0, il existe un unique état stable PPP indépendant de l’état initial.

Les états PnP_nP​n​​ (états probabilistes à l’étape nnn) convergent vers cet état stable lorsque nnn tend vers l’infini.

En pratique

Pour trouver l’état stable P=(ab)P = (aquad b)P=(ab) d’un graphe d’ordre 2, on résout le système :

(ab)×M=(ab)(aquad b) times M = (aquad b)(ab)×M=(ab)  et   a+b=1a + b = 1a+b=1.

Pour trouver l’état stable P=(abc)P = (aquad bquad c)P=(abc) d’un graphe d’ordre 3, on résout le système :

(abc)×M=(abc)(aquad bquad c) times M = (aquad bquad c)(abc)×M=(abc)  et  a+b+c=1a + b + c = 1a+b+c=1.

Ce résultat peut s’interpréter de la manière suivante : « À long terme, les 38dfrac{3}{8}​8​​3​​-ièmes des enfants choisiront le menu steak haché – frites et les 58dfrac{5}{8}​8​​5​​-ièmes restants, le menu plat du jour ».