Tableau des signes maths

2 x − 4 = 0 ⇔ x = 3 phantom{2x – 4 = 0 } Leftrightarrow x=3 2x−4=0⇔x=3

Table des matières

3 − x = 0 ⇔ 3 = x 3 – x = 0 Leftrightarrow 3=x 3−x=0⇔3=x

On recherche la valeur qui annule 3 − x 3 – x 3−x:

On dresse le tableau de signes :

On place les signes : Attention ici à l’inversion de l’ordre des termes. Le coefficient directeur est a=−1a= – 1a=−1 donc négatif. En effet, 3−x=−1×x+33 – x= – 1times x+33−x=−1×x+3.

L’ordre des signes est donc + 0 –

Le tableau complet est alors :

$Exemple tableau de signe 1$

En mathématiques, un tableau de signes est un tableau à double entrée qui permet de déterminer le signe d’une expression algébrique factorisée, en appliquant la règle des signes et en facilitant l’organisation du raisonnement.

Si la forme algébrique est l’expression d’une fonction réelle d’une variable réelle, on dresse un tableau de signes à 2 lignes :

une ligne pour la variable, sur laquelle on trouve les bornes de l’ensemble de définition de la fonction, et les valeurs pour lesquelles la fonction change de signe.
une ligne pour les signes de la fonction, que l’on indique par un symbole
+ {displaystyle +}

$+$

− {displaystyle -}

$-$

0 {displaystyle 0}

${displaystyle 0}$

Exemple 1 : soit la fonction f {displaystyle f} $f$ définie pour tout réel x {displaystyle x} $x$ par f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 {displaystyle f(x)=x^{2}-3x+2} ${displaystyle f(x)=x^{2}-3x+2}$ .Il s’agit d’une fonction du second degré dont les deux racines sont 1 et 2 et le coefficient a = 1 > 0 {displaystyle a=1>0} ${displaystyle a=1>0}$ .Le tableau de signes de cette fonction est donc le suivant : x − ∞ 1 2 + ∞ signes de f ( x ) + 0 − 0 + {displaystyle {begin{array}{|c|ccccccc|}hline x&-infty &&1&&2&&+infty \hline {text{signes de }}f(x)&&+&0&-&0&+&\hline end{array}}} ${displaystyle {begin{array}{|c|ccccccc|}hline x&-infty &&1&&2&&+infty \hline {text{signes de }}f(x)&&+&0&-&0&+&\hline end{array}}}$

Si la forme algébrique à étudier comporte un nombre n de facteurs, le tableau possède n + 2 lignes :

une ligne pour la variable et les valeurs importantes de celle-ci, qui sont principalement celles pour lesquelles l’expression change de signe
une ligne pour chaque facteur,
une ligne pour la conclusion.

Exemple 2 : soit l’inéquation x 3 + 6 x 2 + 12 x ⩾ − 8 {displaystyle x^{3}+6x^{2}+12xgeqslant -8,} ${displaystyle x^{3}+6x^{2}+12xgeqslant -8,}$ .

Pour résoudre ce type d’inéquations par tableau de signes, on regroupe tout dans le premier membre pour avoir zéro dans le second puis on factorise le premier membre obtenu.

Ceci grâce à la règle :

Pour connaître le signe d’un produit, il suffit de chercher celui de chacun de ses facteurs, puis d’en déduire celui du produit grâce à la règle des signes.

Ici, on a

${displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8geqslant 0Longleftrightarrow (x+2)^{3}geqslant 0,}$

d’après l’identité remarquable ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 {displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3},} ${displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3},}$ .

Résoudre cette inéquation revient à chercher le signe de ( x + 2 ) 3 {displaystyle (x+2)^{3},} ${displaystyle (x+2)^{3},}$ , c’est-à-dire celui de x + 2 {displaystyle x+2,} ${displaystyle x+2,}$ .

On a alors le tableau de signes suivant :

valeurs de

$x,$

${displaystyle -infty ,}$

${displaystyle -2,}$

${displaystyle +infty ,}$ signe de

${displaystyle x+2,}$

$-,$

$0,$

$+,$ signe de

${displaystyle (x+2)^{3},}$

$-,$

$0,$

$+,$

On en conclut que l’ensemble des solutions de cette inéquation est: [ − 2 ; + ∞ [ {displaystyle [-2;+infty [,} ${displaystyle [-2;+infty [,}$ .

Exemple 3: Soit l’inéquation 1 − 2 x x − 3 ⩾ 0 {displaystyle {frac {1-2x}{x-3}}geqslant 0} ${displaystyle {frac {1-2x}{x-3}}geqslant 0}$ .

La règle vue plus haut pour un produit est valable aussi pour un quotient, à condition d’avoir vérifié pour quelle(s) valeur(s) ce quotient n’existe pas. Ici, il ne faut pas que x − 3 = 0 {displaystyle x-3=0,} ${displaystyle x-3=0,}$ donc il ne faut pas que x = 3 {displaystyle x=3,} ${displaystyle x=3,}$ .

Alors on fait le tableau de signes suivant:

valeurs de

$x,$

${displaystyle -infty }$

${displaystyle {frac {1}{2}},}$

${displaystyle 3,}$

${displaystyle +infty }$ signe de

${displaystyle 1-2x,}$

$+$

$-$

$-$ signe de

${displaystyle x-3,}$

$-$

$+$ signe de

${displaystyle {frac {1-2x}{x-3}},}$

$-$

$+$

${displaystyle ||}$

$-$

L’ensemble des solutions est donc : [ 1 2 ; 3 [ {displaystyle left[{frac {1}{2}};3right[} ${displaystyle left[{frac {1}{2}};3right[}$ .on peut rajouter que pour trouver la troisième ligne du tableau il suffit de multiplier les signes de la même colonne.

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Cours de seconde

6 – Inéquations et tableaux de signes

En troisième, nous avons vu comment résoudre une inéquation du premier degré. Nous allons maintenant voir comment résoudre certaines inéquations du deuxième degré en utilisant des tableaux de signes.

Résolution d’une inéquation du deuxième degré

Une inéquation du deuxième degré est une inéquation dont la forme développée contient des termes en x², des termes en x et des nombres.

Méthode

Pour résoudre une inéquation du deuxième degré :

1. On passe les termes à gauche du = afin d’avoir 0 à droite.
2. On factorise l’expression de gauche.
3. On fait un tableau de signes.
4. On lit les solutions sur la dernière ligne du tableau.

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Nous allons apprendre à construire un tableau de signes en partant de l’exemple d’une expression déjà factorisée.

Tableau de signes

Résolution de l’inéquation (2x-2)(4x+16)>0.

Méthode

1. On étudie le signe de 2x-2 en fonction de x et celui de 4x+16 en fonction de x.
Pour cela, on cherche les valeurs de x pour lesquelles ces expressions sont positives.

Donc 2x-2>0 lorsque x>1 et 4x+16>0 lorsque x>-4.

Rappel : < se lit « plus petit que » et > se lit « plus grand que ».
Remarque : on pourrait aussi chercher les valeurs de x pour lesquelles ces expressions sont négatives.
2. On dessine un tableau comme ci-dessous en faisant apparaître les valeurs pour lesquelles les expressions 2x-2 et 4x+16 sont égales à zéro (-4 et 1).
3. On complète les premières lignes en inscrivant des « – » si l’expression est négative pour les valeurs de x qui figurent au-dessus, des « + » le cas échéant, et un zéro sur la barre verticale correspondant à la valeur qui annule l’expression. Nous avons besoin des résultats de l’étape 1.
4. On remplit la dernière ligne en effectuant sur chaque colonne le produit des signes des deux expressions en respectant les règles des signes pour un produit.
5. On lit les solutions en regardant la première et la dernière ligne du tableau.
On cherchait les solutions de (2x-2)(4x+16)>0.

(2x-2)(4x+16)>0 (+) lorsque x est strictement plus petit que -4 et lorsque x est strictement plus grand que 1.

Les solutions sont donc :

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(Autre méthode)

As-tu compris ?

Question 1/3

On souhaite résoudre l’inéquation .
Quelles valeurs places-tu dans le tableau ?

?1=
?2=

Le cas des quotients

Les tableaux de signes permettent aussi de résoudre des inéquations dans lesquelles apparaissent un quotient, par exemple .

On utilise la même méthode que pour les produits, mais à l’étape 4, on place une double barre sur la dernière ligne pour les valeurs de x pour lesquelles il y a une division par zéro. Comme une division par zéro est impossible, il faudra retirer ces valeurs de l’ensemble des solutions.

Exemple