Tan(x)

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l’usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

• Nom de la fonction : tangente, en abrégé tan (autrefois, en France :  tg)  » Girard.
• Étymologie : du latin tangere, tangentis = toucher.
• Origine : Abu al-Wafa
• Ensemble de définition : R – {π/2 + kπ, k∈Z}
• Périodique : oui, période : π     » la notion de période
• Fonction impaire = tan(-x) = – tan(x).
• Fonction dérivée : 1 + tan2x  ou encore : 1/cos2x
• Primitive : ln|1/cos x| + k
• Nom de la courbe associée : ///
• Développement en série : »  développements limités usuels

Définitions possibles :

• tan(x) = sin(x)/cos(x)

• Plus géométriquement, dans un repère orthonormé (O,I,J) orienté par le sens trigonométrique usuel (sens inverse des aiguilles d’une montre) , soit M un point en rotation sur un cercle centré en O, de rayon 1 (cercle trigonométrique). Avec ces notations, la tangente de l’angle x est la mesure algébrique IT du segment de tangente en I sur le schéma coupant [OM) en T :

Cette définition au moyen du cercle trigonométrique confère à la fonction tan le nom de fonction circulaire, au nombre de trois avec sinus et cosinus, voire quatre si on tient compte de la cotangente cotan(x) = 1/tan(x).

» En application du théorème de Thalès, on a AT/HM = OA/OH. Or OA = 1, HM = sin(x) et OH = cos(x) : on retrouve la définition bien connue : tan(x) = sin(x)/cos(x).

• Dans un triangle ABC rectangle en A, la tangente d’un angle aigu (^B ou ^C) est égal au quotient (des mesures) du côté opposé par le côté adjacent. Par exemple, tan^B = AC/AB.
  On peut écrire AC/AB = AC/BC × BC/AB = (AC/BC)/(AB/BC) : on retrouve tan(^B) = sin^B/cos^B.

Remarque :    

Sur la figure ci-dessous, complétée de la précédente, les segments de tangente [IT] et [ML] ont même mesure (il est facile de prouver cela en considérant les triangles rectangles OIT et OML). Par conséquent, dans le cas de l’angle aigu, on retrouve tan(x) en ML. On retrouve de même cotan(x) en MN.

 !   Cette remarque ne doit pas inciter le lecteur à utiliser ces mesures car dans le cas d’un angle obtus, on perd l’information du signe. Concernant la tangente, [IT) est une demi-droite orientée, parallèle à (y’y). Par exemple, si x = 2π/3 (120°), on aura tan(x) = IT < 0 car [OM) coupe la tangente en I « sous » l’axe des abscisses et [IT) a alors même sens que (Oy’).

Représentation graphique :

Lorsque x (exprimé en radians) tend vers π/2 (soit 90°), IT devient infini, ce qui explique la présence d’un asymptote verticale en ce point pour la courbe représentative de la fonction tan.

Sur le graphique, l’axe des abscisses porte la mesure, en radians de l’angle (OA,OM). Les asymptotes verticales apparaissent lorsque cos x = 0, donc en x =  π/2 + kπ, k∈ Z, soit  : x = ± π/2, ± 3π/2, ± π/2…

Par application du théorème de Thalès dans le triangle OAT, il apparaît que HM / AT = OH / OA. Mais OA = 1, OH = cos(x) et HM = sin(x). D’où la définition donnée en 1°.

La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel degéométrie dynamique Cabri Géomètre, dans saversion CabriJavapour Internet :

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Déplacer le point P : la courbe tangente x → tan(x) apparaîten rouge

Applications :

La tangente est apparue chez les mathématiciens hindoues et transmise aux Arabes. C’est à Abu al Wafa que l’on doit la définition actuelle. Elle apparaît, en particulier, de façon naturelle dans tous les calculs d’atelier (construction, tournage, fraisage,engrenages, …) où la trigonométrie (au sens premier mesure des angles d’un triangle) intervient.

Formules élémentaires, valeursremarquables :

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•     » preuve           • 

• tan a = tan b⇔ a = b + kπ, k∈Z  

• tan(-a) = – tan a     • tan(a+ π) = tan a     • tan(π- x) = – tan(x)

• tan(π/6) = 1/√3= √3/3 , tan(π/4)= 1 , tan(π/3) = √3,  tan(2π/3) = -√3

•  Concernant les tangentes des angles π/5 (36°) , 2π/5, π/10 (18°), 3π/10  » pentagone et décagone réguliers

•  Concernant la tangente de π/12 (15°)  »

∗∗∗

Trois carrés identiques, trois angles. Montrer que â + ô = ê.

Autres formules pratiques (paramétrisation des lignes trigonométriques) :

Si on pose t = tan(x/2), on a 1 + t

2 = 1 + sin2(x/2)/cos2(x/2) = 1/cos2(x/2) et tan(x) = tan(2× x/2). On vérifiera alors aisément les formules suivantes permettant l’usage d’expressions rationnelles, tout particulièrement en calcul intégral :

La fonction Arc tangente, réciproque de tan sur l’intervalle ]-π/2,π/2[ :

1  Dans un repère orthonormé, dessiner le cercle (c) de centre I(2,1)de rayon 1 et le cercle (c’) de centre J(6,2) de rayon 2. On note (T) la droitetangente à (c) et (c’) autre que (x’x). Calculer au moyen de votre calculatricela valeur exacte du coefficient directeur de (T) sachant que celui-ci est unrationnel simple. On rappelle que le coefficient directeur d’une droite d est latangente de l’angle (Ox,d).

 2  a) Donner ledéveloppement (1 +√3)2
        b)Résoudre l’équation  : 4sin2x + 2(1 -√3)sin x – √3= 0

 3  L’objectif est de résoudre l’équation (e) : √2cos 2x  + sin 2x – 2cos2x = 0      (Dakar, ex. bac 1ère CE 1982)

    a) Vérifier que x = π/2 + kπ, k entier, n’est pas solution de l’équation.
    b) En remarquant que π/4 est le double de π/8 et en utilisant les formules de duplication du sinus et du cosinus, montrer
        que tan π/8 =√2 – 1.
    c) Montrer que l’équation (e) se ramène à : (√2 – 2)cos2x – √2sin2x + 2sin x.cos x = 0. Poser alors X = tan x et prouver
        que X = 1 ouX = √2 – 1.
    d) Déduire des questions précédentes que les solutions de l’équation (1) sont, à kπ près, π/4 et π/8.

 4   Charpente métallique            5   Hauteur d’un immeuble

© Serge Mehl – www.chronomath.com

Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus ont été introduites au moyen du cercle trigonométrique. Dans cet article, on les aborde avec un point de vue “étude de fonctions” : on présente leurs propriétés de continuité, de dérivabilité, leurs variations, leur périodicité… En fin d’article, tu trouveras un exercice (avec son corrigé) pour t’entraîner à manipuler les notions préalablement récapitulées : l’étude de la fonction tangente.

La fonction sinus

La fonction sinus définie sur R et est une fonction impaire : pour tout x ∈ R, sin(-x) = – sin(x). L’origine du repère centré en 0 est donc centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction, comme on peut le constater sur le dessin ci-dessus.

La fonction sinus est périodique de période 2π : pour tout x ∈ R, sin(x+2π) = sin(x). On distingue en rouge dans le dessin ci-dessus une période de la fonction (c’est-à-dire le plus petit motif qui se répète).

La fonction sinus prend des valeurs comprises entre -1 et 1. On en connaît certaines valeurs particulières (que l’on distingue sur le cercle trigonométrique) :

La fonction sinus est continue et dérivable sur R et pour tout x ∈ R, on a sin'(x) = cos (x). Sur l’intervalle [0,2π], elle admet le tableau de variations suivant :

Enfin, la fonction sinus admet la fonction F( x) = – cos(x) comme primitive sur R.

La fonction cosinus

La fonction cosinus définie sur R et est une fonction paire : pour tout x ∈ R, cos(-x) = cos(x). La courbe représentative de la fonction admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie, comme on peut le constater sur le dessin ci-dessus.

La fonction cosinus est périodique de période 2π : pour tout x ∈ R, cos(x+2π) = cos (x). On distingue en rouge dans le dessin ci-dessus une période de la fonction (c’est-à-dire le plus petit motif qui se répète).

La fonction cosinus prend des valeurs comprises entre -1 et 1. On en connaît certaines valeurs particulières (que l’on distingue sur le cercle trigonométrique) :

La fonction cosinus est continue et dérivable sur R et pour tout x ∈ R, on a cos ‘(x) = – sin(x). Sur l’intervalle [0,2π], elle admet le tableau de variations suivant :

Enfin, la fonction cosinus admet la fonction F(x) = sin (x) comme primitive sur R.

Relations à connaître pour les fonctions trigonométriques sinus et cosinus

On commence par rappeler les relations de parité :

cos (-x) = cos(x) et sin (-x) = – sin(x)

Viennent ensuite les relations ci-dessous, qui sont faciles à retrouver à partir du cercle trigonométrique. Il est donc beaucoup plus intéressant de comprendre comment les retrouver à partir du cercle que de les apprendre par cœur !

Pour tout x ∈ R, on a :

cos²(x) + sin²(x) = 1

cos(x+π) = – cos(x) et sin(x+π) = – sin(x)

cos(π-x) = – cos(x) et sin (π-x) = sin(x)

Les relations ci-dessous sont, elles, plus compliquées à retenir, mais elles sont également beaucoup plus difficiles à retrouver si on ne les connaît pas par cœur ! Il est donc préférable de les apprendre, pour ne pas risquer de se retrouver bloqué si elles sont nécessaires dans un exercice.

cos(a+b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b)

cos(a-b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

sin(a-b) = sin(a) cos(b) – cos(a) sin(b)

Enfin, on a le théorème suivant.

La fonction f(x) = sin(x)/x , qui est définie sur R {0}, admet une limite en 0, égale à 1 :

À toi de jouer ! Etude de la fonction tangente

La fonction tangente est définie par :

tan (x) = sin(x) / cos(x)

1. Donner le domaine de définition de cette fonction.

2. Démontrer que la fonction tangente est périodique de période π.

3. Démontrer que la fonction tangente est dérivable sur son domaine de définition, et donner l’expression de sa dérivée.

4. Dresser le tableau de variations de la fonction tangente sur l’intervalle ]-π/2 , π/2[. Préciser les limites au bord du domaine.

5. Donner l’ensemble des points x tels que tan(x) = 0.

Correction de l’étude de la fonction tangente

1. Donner le domaine de définition de cette fonction.

Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont définies sur R tout entier. Comme la fonction tangente est définie sous la forme d’un quotient, il s’agit de trouver les points en lesquels son dénominateur s’annule : ces points ne feront pas partie du domaine de définition de la fonction tangente.

On lit sur le cercle trigonométrique que les points en lesquels la fonction cosinus s’annule sont les multiples impairs de π/2. Une autre manière de le démontrer est d’utiliser les propriétés de la fonction cosinus données dans cet article. En effet, la fonction cosinus est périodique de période 2π, et on sait que sur l’intervalle [0,2π[, elle ne s’annule qu’aux points π/2 et 3π/2. Ainsi, pour tout x ∈ R, cos(x) = 0 si et seulement si x = π/2 + k×2π avec k ∈ Z OU x=3π/2 + l×2π avec l ∈ Z : on retrouve bien l’ensemble des multiples impairs de π/2.

On obtient donc bien que le domaine de définition de la fonction tangente est :

R{(2k+1)π/2, avec k ∈ Z}.

2. Démontrer que la fonction tangente est périodique de période π.

Pour tout x dans le domaine de définition de la fonction tangente, on a par définition :

tan(x+π) = sin(x+π) / cos(x+π) = – sin (x) / – cos (x) = tan(x)

Ainsi, la fonction tangente est bien périodique de période π.

3. Démontrer que la fonction tangente est dérivable sur son domaine de définition, et donner l’expression de sa dérivée.

Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont continues et dérivables sur R tout entier, donc en particulier elles le sont sur l’ensemble de définition de la fonction tangente. Ainsi, cette fonction tangente est définie comme un quotient de fonctions continues et dérivables : elle est donc elle-même continue et dérivable. On a alors l’expression suivante :

tan'(x) = [ sin'(x) cos(x) – sin(x) cos'(x) ] / cos²(x) = ( cos²(x) + sin²(x) ) / cos²(x)

On peut résumer cette expression de deux manières différentes – mais bien sûr équivalentes !

tan'(x) = ( cos²(x) + sin²(x) ) / cos²(x) = 1 + ( sin²(x) / cos²(x) ) = 1 + tan²(x)

et :

tan'(x) = ( cos²(x) + sin²(x) ) / cos²(x) = 1 / cos²(x)

4. Dresser le tableau de variations de la fonction tangente sur l’intervalle ]-π/2 , π/2[. Préciser les limites au bord du domaine.

La fonction tangente est définie, continue et dérivable sur l’intervalle ]-π/2 , π/2[.

On choisit l’expression de la dérivée tan'(x) = 1 / cos²(x), car il est facile d’étudier son signe : pour tout x ∈ ]-π/2 , π/2}[, tan'(x) = = 1 / cos²(x) >0.

Ainsi :

Les limites aux bords du domaine valent respectivement :

car :

et de même :

car :

5. Donner l’ensemble des points x tels que tan(x) = 0.

Pour tout x dans le domaine de définition de la fonction tangente, tan(x) = 0 si et seulement si sin(x) = 0. On lit sur le cercle trigonométrique que les points x tels que sin(x) = 0 sont les multiples de π. Pour le démontrer en utilisant les propriétés de la fonction sinus répertoriées dans cet article, on peut remarquer que la fonction sinus est périodique de période 2π, et que sur l’intervalle [0,2π[ elle s’annule qu’en 0 et en π. Par conséquent, pour tout x dans R, sin(x) = 0 si et seulement si x = π+ k×2π avec k ∈ Z OU x = 0 + l×2π avec l ∈ Z. On retrouve bien l’ensemble des multiples de π.

Reste à vérifier que ces points appartiennent bien au domaine de définition de la fonction tangente (attention à ne pas oublier cette étape !). On constate que c’est le cas : les multiples de π ne sont pas des multiples impairs de π/2 (et ces multiples impairs sont les seuls points de R qui n’appartiennent pas au domaine de définition de la fonction tangente).

Par conséquent, la fonction tangente s’annule sur tous les multiples de π.

Autre manière de démontrer ce résultat :

On a démontré que la fonction tangente était périodique de période π. Or, d’après le tableau de variations ci-dessus, la fonction tangente ne s’annule qu’en 0 sur l’intervalle ]-π/2 , π/2[. Donc pour tout x dans le domaine de définition de la fonction tangente, tan(x) = 0 si et seulement si x = 0+k×π avec k ∈ Z. Donc la fonction tangente s’annule sur tous les multiples de π.

En conclusion, et pour mieux visualiser, on trouvera ci-dessous le graphe de la fonction tangente (qu’il est bon de garder en mémoire) !

En complément de ce cours sur les fonctions trigonométriques, nous te conseillons de lire ou de relire notre article complémentaire dédié aux cercles trigonométriques.