Cours maths 5ème
Le carré
Après avoir défini ce qu’est un carré, des activités guidées permettront de découvrir qu’un carré est à la fois un losange et un rectangle et qu’il a les propriétés de ces deux figures. Il sera ensuite rappelé comment montrer qu’un quadrilatère est un carré à partir de ses côtés et de ses angles, de ses particularités ou de ses diagonales.
Définition du carré
Le quadrilatère ABCD a 4 côtés de la même longueur et 4 angles droits:
C’est un carré.
Définition :
Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur et ses quatre angles droits.
Un quadrilatère particulier
Par définition :
Le carré a quatre côtés de la même longueur …
Propriété 1 :
Le carré, puisqu’il a 4 côtés de la même longueur, est un losange. Il a donc toutes les propriétés du losange.
Les propriétés du carré liées au losange
Le carré ABCD est un losange, donc :
* Les côtés opposés du carré sont parallèles.
* Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
* Ses diagonales sont des axes de symétrie.
* Le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie.
Un quadrilatère particulier
Par définition :
Le carré a quatre angles droits …
Propriété 2 :
Le carré, puisqu’il a 4 angles droits, est un rectangle. Il a donc toutes les propriétés du rectangle.
Les propriétés du carré liées au rectangle
Le carré ABCD est un rectangle, donc :
* Les côtés consécutifs du carré sont perpendiculaires.
* Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
* Ses médiatrices sont des axes de symétrie.
* Le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie.
Les diagonales du carré
Propriété 3 :
Les diagonales du carré se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont la même longueur.
Les éléments de symétrie du carré
Propriété 4 :
Un carré a quatre axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés.
Un carré a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales.
Reconnaître un carré
Le quadrilatère ABCD a 4 côtés de même longueur et 4 angles droits.
ABCD est donc un carré
Propriété 5 :
Si un quadrilatère a 4 côtés de même longueur et 4 angles droits, alors ce quadrilatère est un carré.
Un rectangle particulier
ABCD est un rectangle.
Ses côtés opposés ont la même longueur, ainsi :
AB = DC et BC = AD
En supposant que AB = BC.
Alors : AB = BC = CD = DA
Le rectangle ABCD a donc 4 côtés de même longueur, c’est aussi un losange. ABCD est donc un carré.
Un losange particulier
Le losange ABCD a donc 4 angles droits ; c’est aussi un rectangle.
ABCD est donc un carré.
Reconnaître un carré
Propriété 6 :
Si un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, alors ce quadrilatère est un carré.
Reconnaître un carré par ses diagonales
Propriété 7 :
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu , qui sont perpendiculaires et qui ont la même longueur, alors c’est un carré
Propriété 8 :
Si un parallélogramme a ses diagonales qui sont perpendiculaires et qui ont la même longueur, alors c’est un carré.
Propriété 9 :
Si un losange a ses diagonales qui ont la même longueur, alors c’est un carré.
Propriété 10 :
Si un rectangle a ses diagonales qui sont perpendiculaires, alors c’est un carré.
Un losange est un quadrilatère dont les côtés ont tous la même longueur[1], ou encore un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur. Il était anciennement appelé rhombe[2] du grec ρόμβος (et porte toujours un nom tiré de cette étymologie dans de nombreuses langues, comme rhombus en anglais ou encore rombo en espagnol et en italien).L’adjectif qui lui est relatif est rhombique.
Deux losanges. La figure de gauche montre que les quatre côtés sont de même longueur. La figure de droite est un losange où les propriétés du parallélogramme sont mises en évidence.
Pour tout quadrilatère non croisé (et donc non aplati) d’un plan euclidien, les propositions suivantes sont équivalentes :
- ce quadrilatère est un losange ;
- ce quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre sommets distincts ;
- les diagonales de ce quadrilatère se coupent en leur milieu (autrement dit : c’est un parallélogramme) et elles sont perpendiculaires.
Ce quadrilatère a deux angles aigus et deux angles obtus (sauf dans le cas particulier où le losange est aussi un carré, auquel cas tous les angles sont droits). Un de ses angles aigus + un de ses angles obtus = 180° ; exemple : 110°(obtus) + 70°(aigu) = 180°.
Démonstration
Soit ABCD un quadrilatère non aplati.Soient I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].
- Montrons (1) implique (2) :
On suppose que ABCD est un losange.
Comme c’est un parallélogramme, on a AB = CD, BC = AD et comme c’est un losange, on a AB = CB. Par transitivité, AB = BC = CD = DA. Enfin, les quatre sommets d’un parallélogramme non aplati sont distincts.
- Montrons (2) implique (3) :
On suppose que AB = BC = CD = DA et que les quatre sommets sont distincts.
De AB = BC et CD = DA, on conclut que (BD) est la médiatrice de [AC]. Ainsi (BD) est perpendiculaire à (AC) et passe par I.
On montre de même que (AC) passe par J.
Comme (AC) et (BD) sont perpendiculaires, elles ont un unique point commun et donc I = J.
- Montrons (3) implique (1) :
On suppose que les diagonales se coupent en leur milieu (c’est donc un parallélogramme) et qu’elles sont perpendiculaires.
Comme (BD) est perpendiculaire à (AC) et passe par I, on conclut que (BD) est la médiatrice de [AC] et donc AB = BC.
Losange aplati ABCD
Illustration pour le cas d’un losange plat :
Les diagonales d’un losange sont les bissectrices de ses angles.
Démonstration
Soit un losange ABCD de centre O. La propriété 1 entraîne que les triangles ABO, CBO, ADO, et CDO sont superposables. D’où :
O A B ^ {displaystyle {widehat {OAB}}} 
O B A ^ {displaystyle {widehat {OBA}}} 
C’est-à-dire : les diagonales du losange sont les bissectrices de ses angles.
Les angles opposés d’un losange ont la même mesure deux à deux.
Démonstration
Soit un losange ABCD de centre O. D’après la preuve de la propriété 2 :
O A B ^ {displaystyle {widehat {OAB}}}
O B A ^ {displaystyle {widehat {OBA}}}
Donc D A B ^ {displaystyle {widehat {DAB}}} 
Un losange a au moins deux axes de symétrie : ses diagonales.
Démonstration
Soit un losange ABCD de centre O. D’après 3. de la propriété 1, les diagonales se coupent en leur milieu (propriété du parallélogramme) et sont perpendiculaires. Donc C est l’image de A par la symétrie d’axe (BD) et D est l’image de B par la symétrie d’axe (AC).
La définition du losange comme étant un parallélogramme impose qu’un losange soit une figure plane.Il existe des quadrilatères (avec quatre sommets bien distincts) ayant les quatre côtés de même longueur qui ne sont pas des losanges. Il suffit de se placer dans un espace affine euclidien de dimension 3 et de faire subir à un côté d’un « vrai losange » une rotation suivant l’une de ses diagonales.
Un carré est un losange particulier. C’est le seul qui soit aussi un rectangle, c’est-à-dire possédant quatre angles droits.
A = d × D 2 {displaystyle A={frac {dtimes D}{2}}}
où d représente la longueur de la petite diagonale et D représente la longueur de la grande diagonale du losange.
Rhomboèdre
Un rhomboèdre est un polyèdre dont les six faces sont des losanges.
« Le Losange »[réf. souhaitée] ou « la marque au losange » sont des expressions régulièrement utilisées pour désigner la marque automobile Renault, par analogie à la forme de son logo.
Logo de Renault en 1946
Notes et références
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Pourquoi un losange n’est pas un carré ?Interrogée par: Nicole Berger | Dernière mise àjour: 6. Oktober 2022
Notation: 4.8 sur 5
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| Dernière mise à jour: 6. Oktober 2022
Les angles opposés
angles opposés
En géométrie, deux angles sont dits angles opposés par le sommet si : ils ont le même sommet. ils sont formés par deux droites sécantes. les côtés de l’un sont les prolongements des côtés de l’autre.
https://fr.wikipedia.org › Angles_opposés_par_le_sommet
Angles opposés par le sommet – Wikipédia
d’un losange ont la même mesure. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Propriétés : Un losange qui n’est pas un carré a deux axes de symétrie : ses diagonales.
Comment prouver qu’un losange est un carré ?
Si un quadrilatère a les quatre côtés de la même longueur et quatre angles droit alors c’est un carré. Si un losange a un angle droit alors c’est un carré. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un carré.
Est-ce que le carré est un losange ?
Définition : Un carré est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur et les quatre angles sont droits. Propriété : Un carré est à la fois un losange et un rectangle, il possède donc toutes les propriétés du losange et du rectangle.
Pourquoi le carré est un losange ?
Un quadrilatère particulier
Le carré a quatre côtés de la même longueur … Propriété 1 : Le carré, puisqu’il a 4 côtés de la même longueur, est un losange. Il a donc toutes les propriétés du losange.
Quelles sont les particularités du losange ?
Un losange est un quadrilatère qui possède 4 côtés de même mesure, des côtés opposés paralléles et des angles opposés isométriques.
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