Le plan est muni d’un repère .
Théorème 1
- Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = k avec k un réel.
- Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + pm et p sont des réels.
Cette équation est l’équation réduite de la droite ; m s’appelle le coefficient directeur de la droite et p l’ordonnée à l’origine.
Démonstration :
Soit (d) une droite et A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points distincts de (d).
M (x ; y) ∈ (d) ssi et sont colinéaires.
La condition de colinéarité s’écrit :
(x – xA)(yB – yA) – (xB – xA)(y – yA) = 0
A et B sont distincts donc :
- soit xA ≠ xB
- soit xA = xB mais yA ≠ yB
- si xA ≠ xB (x – xA)(yB – yA) = (xB – xA)(y – yA)
Cette équation est de la forme y = mx + p
avec et
- si xA = xB et yA ≠ yB
Donc x = xA
Cette équation est de la forme x = k
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Théorème 2
- L’ensemble des points M (x ; y) tel que x = k est une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
- L’ensemble des points M (x ; y) tel que y = mx + p est la droite qui passe par le point de coordonnées (0 ; p) et qui admet comme vecteur directeur le vecteur de coordonnées (1 ; m)
Démonstration :
- A (k ; 0) et M (k ; y) appartiennent à l’ensemble des points M (x ; y) tel que x = k
donc
donc
Donc M appartient à la droite parallèle à l’axe des ordonnées.
- L’ensemble des points M (x ; y) tels que y = mx + p passe par les deux points distincts.
A (0 ; p) et B (1 ; m + p)
donc
donc
Donc M appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur (1 ; m)
Théorème 3
En cours de math, deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont parallèles entre elles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Démonstration :
(d) : y = mx + p de vecteurs directeurs (1 ; m)
(d) : y = m’x + p’ de vecteurs directeurs (1 ; m’)
(d) // (d’) ⇔ et colinéaire
⇔ 1 × m’ – 1 × m = 0
⇔ m’ = m
Exemples :
- (d) : 3x – 2y + 1 = 0
L’équation réduite de (d) est(d) a pour coefficient directeur
(d) a pour vecteur directeur (1 ; )
- Trouver une équation de la droite (Δ) passant par A (–1 ; 2) et B (2 ; –5)
M (x ; y) ∈ Δ
donc
donc
M (x ; y) ∈ Δ ⇔ et sont colinéaires
⇔
⇔ –7 (x + 1) – 3 (y – 2) = 0
⇔ –7x – 3y – 1 = 0
⇔
L’équation réduite de (Δ) est .
Un vecteur directeur de (Δ) est .
Le coefficient directeur de (Δ) est .
produit_scalaire.py
Created bysquirreline
Created onSeptember 09, 2018
1.5 KB
Le script permet de calculer des produits scalaires :
– connaissant les coordonnées de deux vecteurs : x × x’ + y × y’
– connaissant les cordonnées de trois points : calcul des coordonnées des vecteurs puis application de la formule précédente
– connaissant deux longueurs et un angle : AB × AC × cos(α)
– dans un triangle connaissant les longueurs des trois côtés
– dans un parallélogramme connaissant les longueurs de deux côtés adjacents et celle de la diagonale
Le script permet également de calculer la norme d’un vecteur connaissant les coordonnées du vecteur ou des points correspondants
from
math
import
*
def
produitscalaire
(
XA
,
YA
,
XB
,
YB
,
XC
,
YC
,
vecteuroupoint
):
if
(
vecteuroupoint
==
pi
):
#pi_sert_juste_de_marqueur
#rappelle_les_coordonnees_pour_les_verifier
(
"X="
,
XA
,
"Y="
,
YA
,
"X'="
,
XB
,
"Y'="
,
YB
)
produitscalaire
=
XA
*
XB
+
YA
*
YB
(
produitscalaire
)
else
:
(
"XA="
,
XA
,
"YA="
,
YA
,
"XB="
,
XB
,
"YB="
,
YB
,
"XC="
,
XC
,
"YC="
,
YC
)
#calcul_des_coordonnees_des_vecteurs
XK
=
XB
-
XA
YK
=
YB
-
YA
XL
=
XC
-
XA
YL
=
YC
-
YA
(
"X="
,
XK
,
"Y="
,
YK
,
"X'="
,
XL
,
"Y'="
,
YL
)
produitscalaire
=
XK
*
XL
+
YK
*
YL
(
produitscalaire
)
def
norme
(
XA
,
YA
,
XB
,
YB
,
vecteuroupoint
):
if
(
vecteuroupoint
==
pi
):
(
"X="
,
XA
,
"Y="
,
YA
)
J
=
XA
**
2
+
YA
**
2
(
"sqrt("
,
J
,
")"
)
#donne_la_valeur_exacte_de_la_racine_carree
norme
=
sqrt
(
J
)
(
norme
)
else
:
X
=
XB
-
XA
Y
=
YB
-
YA
(
"X="
,
X
,
"Y="
,
Y
)
J
=
X
**
2
+
Y
**
2
(
"sqrt("
,
J
,
")"
)
norme
=
sqrt
(
J
)
(
norme
)
def
angle
(
AB
,
AC
,
angle
):
(
"AB="
,
AB
,
"AC="
,
AC
,
"angle="
,
angle
)
produitscalaire
=
AB
*
AC
*
cos
(
angle
)
(
produitscalaire
)
def
figure
(
u
,
v
,
w
,
tp
):
#tp indique s'il s'agit d'un triangle ou d'un parallelogramme
if
(
tp
==
pi
):
(
"1/2(u**2 + v**2 - (u-v)**2"
,
"il_s'agit_d'un_triangle"
)
#rappel de la formule
(
"1/2("
,
u
**
2
,
"+"
,
v
**
2
,
"-"
,
w
**
2
,
")"
)
produitscalaire
=
1
/
2
*
(
u
**
2
+
v
**
2
-
w
**
2
)
(
produitscalaire
)
else
:
(
"1/2((u+v)**2 - u**2 -v**2)"
,
"il_s'agit_d'un_parallelogramme"
)
(
"1/2("
,
w
**
2
,
"-"
,
u
**
2
,
"-"
,
u
**
2
,
")"
)
produitscalaire
=
1
/
2
*
(
w
**
2
-
u
**
2
-
v
**
2
)
(
produitscalaire
)
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